ÉQUATIONS HOMOGÈNES. - FORMES LINÉAIRES

104. Défioliion des formel* lloéaire« et homon^ti ses. L'expression algébrique fonnée par une suite de termes» chacun d'eux renfermant une des lettres ar,, a?„ ... o:^, et

une seule, Texposant de cette letlre étant d'ailleurs égal à Funité, constitue une forme algébrique linéaire et homogène de ces lettres. En désignant cette forme par U, on a donc

les lettres a^ b, ... l étant en nombre égal à m. Ces lettres représentent des coefficients numériques ou algébriques; mais dans aucun cas les lettres x^, a;,, . . . x^ n'entrent dans

a,by .. . L Lorsqu'on égale une suite de formes linéaires à des constantes A^^, /r,, . . . k^ qui ne sont pas toutes nulles, on

obtient le système de m équations linéaires que nous avons résolu et discuté dans la leçon précédente : en les égalant à zéro on a des équations linéaires et homogènes qui vont nous occuper maintenant.

l€l&. Théorème I. Soit le système

U, z= a\x^ + a\x^ H- ... + a^x^ — o U, zz rtjir, + alr^ -f- . . . + a^x^ = »

U,„=«>i + <^« -I- . . . -f- alx„ zz o

de m équations linéaires et homogènes à m inconnues. Si le déterminant A formé avec les coefficients des inconnues n'est

pas égal à zéro, il n'y a, au système proposé, aucune solution autre que la solution éf)identex^z=.o^ a;, — o . . . x^-=. o.

Supposons que Ton ait A ^f o et soit x\^œt, ... x^ une solution du système : nous allons montrer que Ton a nécessairement.

X[z=.X',,.ZZC(f — C) 1 2 m

Désignons, en effet, par X, , X„ . . . X^ des nombres arbitrairement choisis, mais tels que la somme a\\^ + afx« + ; . • + ûi^m soit différente de zéro. Cette condition peut toujours être réalisée, car Fun au moins des coefficients a\, a]^

..; of n'est pas* nul : en supposant a^y^o on pourra toujours, après avoir donné des valeurs arbitraires aux lettres Xi, X„ . . . X,^,, déterminer \^ par la condition

«ÎX, + aîX.-l-...+a^X^=:*„

A4 étant un nombre arbitrairement choisi et autre que zéro. Posons maintenant

On aura donc

ou

ojX' -H . . . + a»X' =:*,. (t)

De même on trouve

«ix; + . . . -4- «jx;^ = *. (,)

en posant

aJX,4- ••-+-ûr^„ = *i

Si Ton considère les équations (*) qui sont linéaires mais non homogènes, elles admettent une solution, puisque le déterminant des inconnues est différent de zéro. De plus on sait que cette solution est unique.

Par suite les équations (i) et {i) ont les mêmes solutions.

On a donc

A ^ X^ A^ — Al • . • A I^ K

l'a' mm

et, par conséquent,

lOS. Théorème 11. Lorsque le déterminant A du système r c»f e</a/ à zéro, ce système admet une infinité de solutions non nulles (i).

Nous supposons maintenant A = o. Dans les équations U donnons à rr une valeur arbitraire x' différente de zéro et

ni m

posons A, = — a'^x'^ h, = ^afx'^ ... A^ - — a^'^. Ces quantités A|, A,, ... h^ ne sont pas toutes nulles, Tun au moins des coefficients a^, a^, . . . o^ étant différent de zéro. Les équations

a\x^ + . . . + a^ir^Xn^i = A, «ii^i + . . . 4- am^'^w-t = A^.

i. Par abréyiatioD, nous appellerons solution nulle celle qui correspond à des valeurs des inconnues toutes nulles, et solution non nulle celle qui correspond ft des valeurs des vartables qui ne sont pas totftes nulles.

lOi

Constituent un système de m équations linéaires, non homogènes, à (m — i) inconnues, les coefficients h n'étant pas tous nuls. On peut donc appliquer à ce système le théorème de M. Rouché. Considérons le tableau rectangulaire des coefficients.

IW-i

Soit p Tordre du déterminant principal B ; on aura p ^

9n — 1 . D'ailleurs les déterminants caractéristiques sont tous nuls. En effet, Pun quelconque de ces déterminants B' est

>>+« • • • ^p+a "p-^OL

ai a^

Le déterminant qui est facteur de apj,, dans cette formule,

est, ou un déterminant du tableau (V), ou le déterminant A ; dans Tun et Tautre cas il est nul. D'après cela il est prouvé que le système U admet une infinité de solutions non nulles ; le nombre des variables arbitraires peut d'ailleurs se déterminer. Nous avons donné à x^ une valeur arbitraire x' ; de

plus dans le tableau (V) l'ordre du déterminant principal étant plus petit ou tout au plus égal à (m — i) en désignant par h un nombre nul ou positif, on peut poser

m — 1 — p zz h.

D'après le théorème de M. Rouché on peut prendre h inconnues arbitrairement. Le nombre total des inconnues arbitraires, en y comprenant x^, est donc h + i, ou (m — - p).