Théorème III. Lorsque entre m inconnues U existe
/m — i) équations linéaires, i étant un nombre entier et positif; ce système admet une infinité de solutions non nulles. Le nombre des variables arbitraires est au moins égal ai; il est exactement (m — p), p étant V ordre du détet'minant principal qui correspond au tableau rectangulaire formé avec les coefficients des inconnues.
Considérons en effet les équations linéaires et lioinogènes, entre les inconnues ar,, ar,, . . . .r^.
(i) l', zzo U, = 0 ... U„ — o ; et le tableau rectangulaire des coefficients.
Soit
le déterminant principal de ce tableau. Considérons les équations.
(a) . U , zi o r, := o ... {jp — o
Qui font partie du système (i). Donnons, dans ces équations, des valeurs arbitraires aux inconnues x^^ . . . x^. Le
déterminant 3 des inconnues a:,, a?,. . . . iCp étant différent de zéro, on pourra résoudre le système (2) par rapport à ces va* riables. On obtient ainsi, iSnalement, une solution x[j a;^. . . .
^pî ^^1 • • ^m» du système (a), solution présentant le caractère suivant : les (p — m) dernières inconnues sont arbiii^aires; les p premières ont, au contraire^ des valeurs dépendantes de celles-ci.
Il nous reste maintenant à montrer que Tune quelconque des solutions précédentes satisfait aux équations.
IW«=" U^2 = «
Posons en effet
La dernière colonne de ce déterminant est un polynôme En développant i^^ en déterminants d'ordre (p-f- 1) on voit,
1** que les coefficients de a:,, rr,, . . . x^^ ont deux colonnes
identiques et sont par conséquent nuls;
2o que les coefficients de x^^, . . . x„ sont des déterminants d'ordre supérieur àp, pris dans le tableau (V), déterminants qui sont nuls conformément à la définition même du déterminant principal. Il résulte de ceci que Ton a s^^ is o.
Dans cette identité remplaçons x^, par x[; a?, par x^ etc. . .; Xp par Xp. On a Uj :=: o uj = o . . . Up rr o (*). La dernière colonne de 3^,^ a tous ses éléments nuls, à l'exception du
dernier terme U^a- ^" P®^* ^^^^ écrire
Nous avons montré que i^^^ est identiquement nuL a donc B^^j z= o et, par suite,
On
1. Vff désigne ici ce que devient U^^ quand on remplace dan» cette forme algébrique les lettres x^, ^^"^m P**" l^avalenrs particulières dr{, a:^,. . . x'^.
Mais on suppose 5?^ « ; on a donc enfin U^^zz o. De celte conclusion résulte le théorème en question. 1,0(9. Théorème WW. Lorsque entre m inconnues x^, x^y . . x^ existent n i=m -4-1 équations linéaires et homogènes
(i étant un nombre entier et positif)y ces équations admettent une infinité de solutions non nulleSy si V ordre p du déterminant principal qui correspond au tableau rectangulaire des coefficients est inférieur à m. Les équations n'admettent, au contraire, que la solution nulle^ si Von suppose p > m.
Si Ton suppose d'abord p'^m, les m premières équations n'admettent que la solution nulle (Th. I). Prenons maintenant rhyçothèse p < m. On peut donner aux variables a?^^ . . . ic^
des valeurs arbitraires et résoudre les équations
(P) U, zzo U, — o ... Vp^O
par rapport aux inconnues a?,, a?„ . . x^. On voit, comme
dans le théorème précédent, que toute solution du système (P) appartient aux autres équations U^, n: o . . . IJ„ =z o. Le
nombre des variables indépendantes est égal à (m — p).
mo. Théorème V. Pour qu'un déterminant soit nul il est nécessaire et suffisant qu'il existe entre les éléments des lignes ou des colonnes des relations linéaires et homogènes.
i" Je dis d'abord que cette condition est nécessaire. Considérons en effet le déterminant A ,
a\ al . . , a^
un n
et supposons A = o. Les équations linéaires et homogènes
P, = œ{x, + afX, 4- ... -+- a^X, = *» (H) P, = «iX, + a|X, + ... + a;x„ = o
admettent pour les inconnues X, une solution non nulle ; le déterminant formé avec les coefficients des inconnues étant nul (g 106).
2® Je dis maintenant que cette condition est suffisante. En effet si les équations (H) sont vérifiées par des valeurs des inconnues X qui ne sont pas toutes nulles, c'est que le déterminant A est nul {% io5).
11 0. Théorème ^1. Lorsqu'un déterminant est nul ainsi que tous ses mineurs, jusqu'à ceux de la classe h exclusivement y il existe entre les éléments de chaque ligne une même relation linéaire et^ parmi les coefficients qui définissent cette relation, h sont arbitraires.
Conservons les notations du paragraphe précédent et supposons que A soit nul ainsi que tous les mineurs de première classe, de seconde classe, etc.. , mais non le mineur de classe h.
Bz=
^« A az, A • » . ^i,~/,
Considérons les équations
(1) P,=o P.izo ... P„^;i = 0
et donnons aux lettres A„/i|.i, ... ),„ des valeurs arbitraires. On peut résoudre ces équations par rapport à X,, X,, • • • \~h î puisque le déterminant de ces inconnues î, est différent de zéro. On obtient ainsi une solution X,, X,. . . X„
du système (1) et nous allons montrer que ces nombres vérifient les équations
Soit en effet le déterminant A'
EQUATIONS HOMOGÈNES 109
déterminant dans lequel z désigne un des nombres (h — i), (A — a), ... o . Si Ton développe A' en déterminants d'ordre (n — A-f-i), conformément à la règle connue; il résulte de rhypothèse que nous avons faite que ces déterminants sont tous nuls. On a donc A' z=. o. D'autre part les nombres A„ X,, . . . X^ rendent nuls les éléments P,, P, , . . . P„i^ de la dernière colonne. On a donc
et comme S n'est pas nul, on a finalement P^. - o, ce qui démontre le théorème en question.
lit. Définitions. On dit que des formes linéaires U|, U,, . . . U^ des variables rc, , a:,, . . . a?^sont indépendantes lorsque l'identité
ne peut avoir lieu qu'en supposant X, = X, ... ^ X„ := o. Si le contraire a lieu, les fonctions U sont dépendantes.
Si Ton suppose n > m, la dépendance existe nécessairement. En effet Tidendité (a) peut être établie en écrivant entre les coefficients X qui sont au nombre n, m équations linéaires et homogènes ($ 107).
Théorème l^WÊ. Pour qu'il y ail une dépendance entre n formes U linéaires et homogènes de n lettres Xt, . . . j?„ il est néces-
saire et suffisant que le déterminant A formé par les coefficients de ces lettres x, dans les formes U, soit nul,
i^ La condition est suffisante. En effets si ou suppose A zr o nous venons de voir (^ 109) qu'il existe des nombres X,, X,,...
110 NEtVIÈME LEœN
An qui ne sont pas tous nuls, et qui satisfont aux conditions suivantes :
X,aî 4- X,a| -H . . -h X«fl; = o
on a donc
X,U, + X,U, -h . .. + X„l « = o 3» La condition est nécessaire. Supposons que Tenait
X,U, + A|U, + • • + XnU„s:o,
les équations (0) sont alors vérifiées pour des valeurs des
coefficients X qui ne sont pas toutes nulles ; on a donc A = o. (§ io5).
1 1 !9. Théorème THÉ. Pouj* que n formes linéaires U| , U,, ...Un, entre les m variahlesx^ x^,..XmySoient dépendantes il faut et il suffit que le déterminant principal î, du tableau rectan* gulaire (V) des coefficients soit d'un ordre inférieur an: on suppose (n < m).
II nous reste à examiner le cas où le nombre des formes est inférieur au nombre des variables. Pour déterminer les paramètres X et former, s'il est possible, une relation d'identité entre les fonctions U, on doit résoudre un système de n équations linéaires et homogènes entre les inconnues X,, \,... X^.
Le tableau rectangulaire de ces équations n'est autre chose que le tableau (V) des coefficients proposés. Après cette remarque, il suffit d'appliquer le théorème IV pour établir la propriété en question.
113. Théorème IX« Lorsqu'un polynôme U, entier, du degré m, U =r Aoa:'« -f- A,a:»»-* -»- . . . -f- Am s' annule pour (m + i) valeurs de a?, il est identiquement nul.
EQUATIONS HOMOGÈNES Ml
Soient XoX^ . . . Xm, {m -h i) nombres différents et tels que Ton ait,
AoJ?S* + A,a;îî*~ -+-...+ Af^^^Xo + A,„ n: o
AoXj^ -f- A^X^ff^ -+-•••+ ^nt^V^m "h A,„ HZ O
Considérons les équations linéaires et homogènes entre les inconnues X09 X|9 . . . Xm ;
X^Xq -j" XjO^o -h • . . + Xm— 1X0 + X^ ^^ «
Xoxr+XjO;?*""*-!- ... -h X^-i^?, + X^ in o Xo^m + X,X,„ -h . . -f- Xffi^iXfn'i' Xfli — O
Le déterminant des inconnues est un déterminant de Vandermonde et il n'est pas nul si les nombres XoXi . ,. Xm sont tous différents, comme nous le supposons. Un pareil système {% io5) ne peut admettre que la solution nulle. Or en comparant (1) et (a) on observe que X© = Ao, X, — A,, . . . Xm = Am est une solution du système (2). Cette solution est nécessairement nulle. On a donc Ao — A, zz ... Am == « ;
Ainsi U est identiquement nul.
DIXIÈME LEÇOiN
