NOMBRES INCOMMENSURABLES

radne m"^, à une unité près» par excès. On sait d'ailleurs qu*il n'existe aucun nombre commensurable ftactionnaire dont la puissance tn^ soit égale à A.

On est alors conduit à Tidée des nombres incommensurables, et nous allons définir en particulier le nombre incommensurable dont la puissance m^^ est égal à A.

Posons

p étant un nombre entier quelconque : Ap*" est donc un nom-> bre entier. Ce nombre n'est pas une puissance m"* exacte ; car

si Ton avait Ap"* =i x*" on aurait \^\ =r A, ce qui n'est pas

possible, comme nous l'avons rappelé tout à Theure. Ainsi Ap**est un nombre compris entre deux nombres consécutifs du tableau (i); w*" , (n + i)*". Écrivons donc

n'"<Ap'^<(n + ir ou

Nous poserons

a«i=- et p^::r

p p VP p

Considérons maintenant les deux suites

(l) «1 9 âCi I • • • Op

(^) • ô| > 6f 9 • * > 6p et désignons par p la valeur principale (0 de la suite (i) et

pars celle de la suite (2). Les nombres p

(3) p, , pi » • • • pp

(4) ffi > ff| > • • • Cp

1. Noui appelons, avec M RoucLé, valeur principale d'une suite de

joaisseat des propriétés suivantes : i» Les nombres p vont toujours en croissant ou du moins ne décroissent Jamais ; a» les nombres 9 vont toujours en décroissant ou du moins ne croissent jamais ; d'ailleurs les premiers sont nécessairement infétieurs à A, les autres supérieurs à Tunité. Les uns et les autres ont donc une limite ('). Je dis que cette limite est la même. En effet, on a

mais Ton suppose

in a donc

Pp>^ -r<^p-

Quand p tend vers Tinfini, la différence ff^ — Pp tend vers

zéro ; la limite est donc la même pour les deux suites. Cette limite commune, ce nombre positif bien déterminé et que Ton peut imaginer nettement, est ce qu*on appelle la racine m""® de A. Nous conviendrons de représenter ce nombre par récriture symbolique y A.

Il faut d'ailleurs remarquer que la limite que nous venons de définir est unique. Imaginons en effet deux nombres positifs incommensurables x eiy tels que Ton ait

a?'" = A et y'^^rzA.

On aurait donc

quantités x^ 0:^ • • • ^n ^^ P^us grande ou la plus petite du ces quantités, suivant quelles représentent des valeurs approchées par défaut ou par excès de la quantité incommensurable qu'on veut définir. (V. Traité de Géométrie étém.y Rouché et dc Gomberousse.)

1 . Nous supposons ici, pour ne pas insister davantage sur ces idées élc' mentaires, que les notions de limites, Tsuciome fondamental que nous Venons de rappeler 0t les principes relatifs aux limites ont été développés dans le cours d'Arithméti(iue.

NOMBRES INCOMMENSURABLES IlS

(x — y) (a?"'"' -i-ya;^* -h . . . 4-»'""*)^ 0,

Le second facteur du produit est positif, il £iut donc que le premier fticteur soit nul ; ainsi on a a; =: y.

1 1 &• Remarque. Lorsque m est pair, si Ton appelle x la, racine m"« de A, — x est aussi une racine m"»« ; maïs pour éviter toute confusion^ nous appellerons valeur arithmétique d'une racine d'indice pairie nombre positif défini au paragraphe précédent. Avec cette convention, la racine m** d'un nombre positif est une quantité toujours bien déterminée, c'est-à-dire n'ayant qu'une valeur.

Nous ferons aussi remarquer que nous avons supposé A > 0 ; si Ton suppose A négatif et m impair, on ramène immédiatement ce cas au précédent de la manière suivante.

Soit X la racine m^^ du nombre positif — A ; x est un nombre que nous venons de définir et qui est bien déterminé. On pourra donc écrire.

ou m étant impair,

Multiplions, de part et d'autre, par (— i)*", il vient

(,)"»a?'"=A ou enfin

D*après cela — x est la racine m^^ de A.

Enfin si l'on suppose m pair, et A < o il n'existe aucun nombre, positif ou négatif, commensurable ou incommensurable, qui, élevé à une puissance paire, puisse donner un résultat négalif.

lis. Théorème 1. le produit de deux ou plusieurs ra^

dicaux de même indice p, est égal à la racine d'indice p du produit des nombres proposés.

Je dis que Ton a

* • (i) Ç'âÇ'Bs^âb.

Le premier membre de (i) est un produit de deux fiicteurs et chacun de ceux-ci n'a qu'une valeur : le produit n'a

((onc lui-même qu'une valeur. Désignons par a cette valeur unique.

Si on élève a à la puissance p, il faut élever chacun des facteurs à la puissance p, et faire le produit des deux résul-

tais. Par définition, la puissance p du premier facteur ^Â est

égale à A ; la puissance p du second facteur Ç^B est égale à B. 'On voit déjà : i** que le premier membre a une valeur unique ; ^* que cette valeur est telle, qu'élevée à la puissance p,

elle donne pour résultat AB. Or ^AB est un nombre bien déiahi, n'ayant qu'une valeur, et cette valeur est telle que, élevée à la puissance p, elle donne pour résultat AB. En rapprochant les deux &its on voit que les deux membres ont des valeurs uniques et égales.

Le théorème étant vrai pour deux facteurs, s'applique, pour des raisons évidentes, à *un nombre quelconque de radicaux.

119. Théorème II. Pour élever un radical à une puissance m, il suffit d'élever, à la puissance m, le nombre placé sous le radical.

Nous voulons démontrer que l'on a

Le premier membre peut s'écrire

aÂ)(?/Â)... .

le nombre des facteurs étant égal à m. D'après le théorème

précédent ce premier membre est égal à Ç^ A. A... ou !( A"*. La proposition est donc établie.

NOMHRES INCOMMENSURABLES liY

118. Théorénie III. Le quotient de deux raçCiçdux '4e même indice p est égal à la racine d'indice p du quotient des deux nombres dominés.

En d'autres termes, nous voulons montrer que Ton a

Va 7a

OU • •

Vâ=VbV§-

Or cette dernière identité résulte du théorème I ; le second membre étant, d'après ce théorème, égal à

g, ou a \A.

IIO. Théorème 1^. La racine d'indice p dun radical d'indice q est égale à la racine d indice pq du nombre proposé. On a donc à reconnaître l'exactitude de Tidentité

V^VÂs'^Â.

Élevons le premier membre qui a une valeur unique et bien déterminée à la puissance pg. A cet effet on peut, si Ton veut, rélever d*a bord à la puissance j9, puis à la puissance 9. La ph*

mière opération donne pour résultat y\ ; la seconde A. Or le second membre a, lui aussi, une valeur unique et bien déterminée ; valeur telle que si on Télève à la puissance pq on obtienne pour résultat A. Le premier membre a donc une valeur unique égale à celle du second membre.

IIBO. Théorème V. On ne change pas la valeur d un radical en élevant à une puissance quelconque q, le nombre placé sous le radical, pourvu que Von multiplie en même temps par q Vindice du radical.

m DIXIÈME LEÇON

' Sôit ^Ale radical proposé; je dis que Ton a

n suiBQl d'élever le premier membre à la puissance pj' et de raisonner, comme nous l'avons fait dans la démonstration du théorème précédent.

Applioatioiis. Le théorème précédent est surtout employé dans les deux cas suivants : i® Simplification des radicaux \ 7^^ Comparaison des radicaux.

1® Soit à calculer

On aura

ou enfin

a?zz45V*«

i"" Soit à comparer les quantités

\^a, V^^ V4? • • • Wî etc. . .

Posons

Vn = \n par suite,

Réduisons les radicaux au même indice; écrivons, à cet effet, et,

NOMBRES INœMMENSURABLES il9

Pour comparer yn et yn^\ nous allons considérer la quantité

Cette expression peut s^écrire

Pour w zr 2 on a y, =: ^; ainsi Ton a yj'Sy \2.

Nous verrons bientôt que Texpression ( i +- 1 est toujours

comprise entre 2 et 3; alors z^, 24, . . . sont plus petits que Tunité. On a donc

•v'3>V4>^5...,elc.

Ifil. Expasttnts ffraetionnalreflu L'expression a^ (0 a une valeur bien définie quand m représente un nombre entier et positif. Cette valeur est le produit obtenu en multipliant les

p uns par les autres m fiicteurs égaux à a. Mais a9y pei q étant

des nombres entiers et positifs, est une expression algébrique dénuée de sens, si Ton considère l'exposant comme marquant

1. Avant Tadoption de l'écritare symbolique a^, les mathématiciens employaient diverses notations plus compliquées. Par exemple, Texpression

zb — 3d* t'écrivait

Acub.bis—dcub.

z in à — d.q. ter

(Lett. de Fermât à Mersenne. V. Journal de Mafhém. spéc, janv. 1883.) Nous voulons faire comprendre par cette citation toute l'importance des notations symboliques de l'algèbre.

un nombre de acteurs. Nous convenons ici de considérer a?

comme égala ^aP. Cette dernière écriture algébrique représente une quantité bien définie. Hais nous devons expliquer, dès maintenant, comment on a été conduit à faire cette convention; nous ferons voir plus tard, quand nous discuterons la fonction a^, pourquoi elle a été faite et quelle est son utilité.

Lorsqu'on a à calculer une expression de la forme

il résulte du théorème V que Ton ay=: a«' ou y:z:aP. Ainsi

l'expression a *• a une valeur bien définie y ^'^ quand m est exactement divisible par m, et c'est ainsi qu'on a été conduit à

considérer conventionnellement a " comme égala ^a"* quand mein sont des nombres entiers et positifs quelconques. Pour que cette convention puisse être acceptée il faut ob-

server que les deux expressions yzza^eXzzz l^a"*, jouissent, Tune et Tautre, de la propriété de rester égales quand m et n varient proportionnellement. Cette propriété, évidente sur la forme y, est encore vraie pour la seconde forme z, puisque

Ton a "^a"Vs: y'ô^ ($ 120).

Ikftft, Théorème. Les règles connues pour le calcul des exposants entiers subsistent pour les exposants fractionnaires.

Prenons, pour ne citer qu'un exemple, la propriété fonda^ mentale

Je dis que cette règle subsiste pour les expoi^ants fractionnaires positifs, que Ton a, en d'autres termes,

m m' m mf

n nt n «'

NOMBRES INCOMMENSURABLES i21

En effet, d'après la convention faite tout à l'heure on a

a" a"' :=Va"«"va-'

* ^ MU/ y «M'y «rt^y nnf y

• »/ I X m«/ 1 y nm* | X m/»/ «m/ | X m?i'+n7n/

a a z^y Or y/ a —y a ,a zzy o,

Mais ce dernier radical peut s'écrire, d'après la même convention,

ïM.i'4-nw m mt

nnf OU n «'

On a donc bien

m mf mm'

n nf n nf

Exposants néf^atiffs. Nous ferons maintenant une autre convention^ et celle-ci est relative aux exposants négatifs. Nous conviendrons que l'expression a-p {p nombre entier ou fractionnaire, mais positif) représente le nombre bien défini — .

La règle pour la division de deux exponentielles de même base a*, a» donne, pour le quotient, l'expression a*-y, expression ayant une valeur bien définie quand on suppose a? > y .

En posant zzz. — , on voit que si a? zz y on a :$ n i ; pour ce mo

tif on a fait dans l'algèbre élémentaire la convention suivante : a^» = 1. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point dans Fétude que nous ferons bientôt de la fonction a^^ ; et nous établirons que l'exponentielle de base quelconque a pour limite l'unité, quand l'exposant tend vers zéro. Enfin si l'on suppose a? < y, en posant y — a? iz A on a

zir—rrï» ou z — 7-, ou enfin zzi-r.

Ht DIXIÈME LEÇON

D'autre part, la règle qme nous avons rappelée donne

On pourra donc appliquer cette règle de la division de deux

exponentielles de même base dans le cas où Texposant du

numérateur est plus faible que celui du dénominateur, mais

en faisant la convention cr* s -7.

%9^. Théorème. Les règles connues relatives aux calculs des exposants positifs s'appliquent aux exposants négatifs. Prenons encore la propriété fondamentale

za'^":

Je dis que Ton a

sra-'^'

En effet les identités

innent

^mmUm^^m» %

Mais^ par la convention que nous avons faite, on a

1 "(iH-o) "1»^

On a donc bien, finalement

IM^ Déflnitlcwi. Une expression telle que y zi \/^^ est dénuée de sens, si l'on veut exprimer par cette égalité qui y est un nombre commensurable ou incommensurable, positif ou négatif, dont le carré est égal à — ^. Nous convenons ici,

pour généraliser récriture symbolique VA, que VA représente dans tous les cas une expression algébrique dont le carré doit y dans les calculs où pénétre ce symbole, être remplacé par A.

11 est facile de comprendre Futilité de cette convention et comment on est naturellement conduit à la faire quand on cherche à généraliser le calcul algébrique. Prenons, pour mettre ce point en évidence, Tégalité

on a, par une propriété connue

D^autre part, on peut écrire

Si nous admettons, conformément à la convention que nous

proposons, que V — - ^ ne soit qu'une écriture symbolique, ne s^expliquant pas par le sens qu^on a attribué en arithmétique

au signe symbolique V > mais soumise aux règles ordinaires du calcul algébrique, on peut écrirOi sans inconvénient

En effet, le carré de Texpression écrite dans le second membre de cette égalité est égal, si Ton admet la convention que

nous venons de faire, au produit des carrés des facteurs V — ^

et v^^^ ; égal par conséquent, d'après cette convention, au produit de (— 2) par (— 3); c'est-à-dire enfin égal à 6.

Le théorème relatif au produit de deux radicaux carrés, celui qui est exprimé par l'identité

VA VB=:\/ÂB

et tous les principes du calcul algébrique se trouvent ainsi généralisés. On peut donc, pour poursuivre cette généralisation des formules qui est un des buts de l'algèbre,

introduire l'écriture symbolique \/U sans avoir à se préoccuper du cas où l'on a U < o. Il &ut seulement accepter la con-

vention suivante :

i^ On a, quel que soit U