VÛ)" = U
2® Quand on suppose l] <Co les expressions ^U» dites expressions imaginaires, sont soumises aux régies ordinaires du calcul algébrique, règles démontrées pour les nombres qui ont été définis en arithmétique.
Par opposition aux expressions imaginaires, les nombres définis en arithmétique sont nommés quantités réelles.
Nous désignerons, suivant l'usage, par i Texpression imaginaire dont lo carré est égal à (— 1). On a, d'après les conventions précédentes
i =: V — * «• 1= — 1 t' rz — - / i^ zzi. Généralement
t :^i i nî î m — i t rz — t.
Nous appellerons expression imaginaire de forme normale
Texpression (a +6») ;aeib étant réels : a —bi représente Vexpression imaginaire conjuguée,
- ItSO. Prineipe I. Si ton rencontre C égalité a+bi=:o {}) on peut remplacer celle-ci par la double égalité a = o, b — o.
En effet Tégalité proposée soumise aux règles ordinaires du calcul, conformément à la convention faite, donne
a — — bi puis,
a'zr+6'(-i) ou
a* + 6* zi o
Deux nombres réels a et 6 ne peuvent avoir une somme de carrés nulle que s'ils sont séparément nuls. On a donc a = o, b = o.
Principe IL Si Von rencontre t égalité
a + 6tz=a'-f bH
on pourra la remplacer par t ensemble des deux égalités a = a% b=b'.
L'égalité proposée donne, conformément à la convention,
(a — aO + (ô — 6')t = o,
et le principe précédent permet de conclure de cette égalité
a — a' rr o, et i — ô' z= o.
199. Tiiéorème I. Le produit de plusieurs expressions imaginaires de la forme a -f- bi est une expression de cette forme. On a d'abord
1. Pour éviter des répétions coatinuellesy il va sans dire qu*en parlant de l'expression (m -{- nt), nous sous-entendons toujours que m et n sont des nombres réel*. •■ ■
le théorème est donc vérifié pour deux facteurs ; il est donc
vrai aussi pour un nombre quelconque de facteurs.
' C^orollaire. La puissance p d'une expression de la forme
(a + bi), p étant entier et positif , est une expression de cette
forme.
II suffit évidemment de supposer que Ton applique le théorème précédent à p facteurs identiques.
1198. Théorème D. Le quotient de deux expressions imaginaires de la forme a -+- bi est une expression de cette forme.
Soit
a-hbi
{a + bi){a'-'b'i)
f*^^hf
a'*-hb
ou,
aa' + bb' {ba' — ab') .
ou enfin
en posant
y=:A-+-Bt,
.aa' + bb' ba' — ab'
A et B sont bien deux nombres réels.
1 fiB. Théorème WÊÊ. Un polynôme entier V,
U = Aoo;'" + A,a:^-* + ... + A^.ia;+ A^
dans lequel les coefficients Ao, Aj, . . . Am sont des expressions imaginaires de la forme (a-hbi) (*), prend la forme P + Qî, si Von remplace x par (a-f- pi).
1 . Cauchy a douué le uom de fonction entière au polyuème entier qae uous couttidérous ici.
LES EXPRESSIONS IMÂGINAIAES 127
11 résalte en effet de la convention que nous avons Taite, que l'on a
S(a -h bi) s Sa -f- iS^.
Chacun des termes de U étant le produit de £aicteurs de la forme (w 4- ni) est, d'après le théorème précédent, une expression de cette forme ; la somme de ces termes est donc aussi de cette forme.
130. Théorème WV, Le produit ou le quotient de deux fonctions entières de Xy est une expression imaginaire de la forme (m + ni) ; quand on y remplace x par (a -f- ^0-
Soity z= -. U et V étant deux fonctions entières. D'après le
théorème précédent U et V prennent la forme (m + ni) quand on remplace la lettre a; par (a + ^i). D'autre part le théorème II prouve que le quotient de deux imaginaires de cette forme est aussi une expression imaginaire, de cette même forme.
131. Théorème V« Deux expressions imaginaires conjuguées substituées dans un polynôme entier à coefficients réels, donnent detix expressions imaginaires conjuguées.
Soit U :=fix) le polynôme proposé. Remplaçons x par (« H- &i) on aura
P et Q sont des polynômes entiers par rapport aux lettres a, ^etparrapporlauxcoefficients, supposés réels, de U. Dans rident i té précédente, les deux membres étant absolument les mêmes, il est évident que Tidentité subsiste si l'on change i en( — i). Les polynômes P et Q ayant leurs coefficients réels, consentent des valeurs identiques et l'on a
1S9. Forme trig^nomëtriqae de l'expression Ima- Sinsire. Posons
le radical étant, par conveotion, pris avec le signe +. Cette quantité p, qui est évidemment réelle et que nous supposons positive, est ce que nous appellerons le module de l'expression imaginaire. L'identité évidente,
fl + fcisvVTyr ^ H — ~ il
peut s'écrire
a-^- bi:s: p(cos w -f- » sin g))
en posant
cos 0) n — —-— — sm u) zz .
Les nombres
\'a* + b' va* + b*
sont, quels que soient a et 6, compris entre + 1 et — i . On a d'ailleurs
\vV-hW \va*-hW
Cette identité prouve qu'il existe entre o et 2% un arc, etun setU
a arc admettant pour cosinus, "" ^ et, en m^me temps, pour
b sinus ^:==. Cet arc w, dont la valeur est bien déterminée ^ est Va'-f-ô"
V argument de la quantité imaginaire {a + bi).
De là résultent les remarques suivantes : 1** une quantité ima* ginaire nulle a un module nul; et réciproquement; a» deux expressions imaginaires égales ont le même module et le même argument, et réciproquement; 3o deux expressions imaginaires conjuguées ont le même module, mais des arguments dont la somme est égale à ax ; et réciproquement; 4® deux imaginaires
LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES i29
égales et de signes contraires, deiLX imaginaires dont la somme est nulle j en d autres termes^ ont : i" te même module, 2^ deux arguments différents de t:; et réciproquement.
138. Représentation f^éométriqne de Texpresslon imaginai re(*)« Imaginons deux axes rectangulaires ox, oy et une expression imaginaire (a -{- bi)- H y a dans le plan des axes ox, oy y un point M, et un seul, dont les coordonnées sont x = a y 1= 6 ; nous convenons de dire que ce point M représente Timaginaire {a + bi). Réciproquement, à un point quelconque du plan, au point M% correspondent une abcisse a' et une ordonnée b' et nous dirons que l'imaginaire a' -F- b'i correspond à ce point M^
Dans cette manière de voir les nombres réels sont considérés comme un cas particulier des expressions imaginaires ; la forme a-+-6t représente en effet un nombre réel quand on suppose 6 r= 0 : les points qui correspondent aux nombres réels sont coux qui sont placés sur Taxe des x.
Lorsque Texpression imaginaire proposée est mise sous la forme trigonométrique p (cos w-|-îsin w), le point qui la représente est celui dont les coordonnées polaires sont p et o).
On peut, d'après cela, faire les remarques suivantes : iT origine représente {imaginaire nulle ; 2*» deux imaginaires égales sont représentées par le même point ; 3° deux imaginaires conjuguées, par deu^ points symétriques par rapport à OX; i'^deux imaginaires égales et de signes contraires, par deux points symétriques par rappoiH à Forigine.
tB4L Théorème VI. Lorsqu'on multiplie plusieurs imaginaires: i* lemodulédiiproduit est égal auproduU des modules, 2« r argument du produit est égal à la somme des arguments des facteurs considérés.
Considérons d'abord les deux facteurs Uj et U, ; soit
U, rr p, (cos (I), -h * sin (t),),
1. Voyez lu repréàen talion da point en Géométrie Analytique. {Cours de Maikémaiigues spéciales , deuxième partie.) ;
et
U, =r p, (cos (I), -f- i sin to,).
On aura donc
U, U, ~pf p,(cos<d, cos(i>, — sino), sinw^-i-/; sino)^ cos(i).-+- i sinw,cos(o, )
ou
UjU, = p,p, [cos (o>, -f- (I),) -h l'sin (o), -h wj].
Sous cette forme on voit que U^ U, est une expression imaginaire dont le module est p, pj et l'argument (w^ + wj) .
Le théorème est vrai pour deux facteurs ; il se généralise sans difficulté.
13&. Formule de Moivre. La puissance m (Tune exprès, sion imaginaire (m nombre entier et positif) s'obtient en élevant le module à la puissance m et en multipliant V argument par m.
Il suffit d'appliquer le théorème précédent aux facteurs U^, Us, . . . U^en supposant que tous les facteurs soient égaux à U ;
Vzzp (cos w + t sin w).
On a ainsi
Cette formule remarquable est due à Moivre. Elle est démontrée dans rhypothèse où m est entier et positif. Il est fecile de reconnaître qu'elle subsiste quand 7/1 est entier et négatif.
Soit m:=—m'y alors m' est entier et positif. On a U '" zz U^"* = ; : par conséquent, et d'après la formule de Moivre
rm
V'^ZZ—r
p*" (cos m'o) 4- i sin m'w) Multiplions, haut et bas, par (cos m'(o — i sin m'o)), il vient
U"* iz p""* (cos m'w — i sin w'w),
OU enfin
13B. Théorème VD. Ze quotient de deux expressions imaginaires s'obtient en divisant les modules, et en retranchant les arguments de ces deux expressions.
Soit
U, =z p, (COS ^ù^ -4-tSÎn ^ù^)
U, =: p, (cos <i), -f-i sîn <i),).
Désignons par U le quotient cherché, et posons
U iz p (cos (0 -I- 1 sin w).
On aura donc
