U, = LU

En appliquant le théorème précédent, on obtient

Pf=P-P« et (o^rrw + G),,

par suite

p = ~ et 0) zz 0), — 0),,

Pi

1 89. Théorème TIII. Pour qu'un produit de facteurs soit nuly il est nécessaire et suffisant que Vun de ces facteurs soit nul.

Cette proposition peut être considérée comme évidente pour des facteurs réels ; nous allons l'étendre au cas où Ton considère des facteurs imaginaires de la forme {a + bi).

Soit

U = (a, 4- b,i) (a. + b,i) ...{a^-h bj),

U est une expression imaginaire que nous désignerons par (A+Bi), (g 127). On a d'ailleurs (g i34),

(i) ^/A•-^B-r:vVî-^-ÔJv'aH^^•Va^+^^

13i ONZIÈME LEÇON

i"* Si Tun des facteurs proposés est nul ; si l'on a, par exemple,

a, + b^i HZ o,

il faut alors supposer que Ton a a, r=o, et 6, = o. Le second membre de Tégalité (i) est un produit de facteurs réels ; Tuo d'eux étant nul, le produit est nul. On a donc

et comme A et B sont réels on doit supposer A = o et B :=: o. Ainsi le produit est nul quand Tun des facteurs est nul.

20 Supposons maintenant que le produit soit nul; nous allons démontrer que l'un des facteurs est nécessairement nul. En effet si Ton a A -h B* i= o on doit supposer (§ ta6), A rr o et B zz 0. Dans l'égalité (i) le premier membre est nul; le second l'est donc aussi. Les facteurs étant réels, il est nécessaire

que Tun d'eux soit nul, que Ton ait, par exemple aj -{- ôf z: o; par suite a, r: o et 6, := o, puisque a* et 6, sont réels. Le facteur (a, + b^i) est donc nul.

138* Théorème IX. Le module d'une somme est pluspe* tu qice la somme des modules, ou est tout au plus égal à celte somme.

Cette proposition est évidente quand on se sert de la représentalion géométrique de Timaginaire. On voit ainsi, sans peine, que la propriété en question est la conséquence immédiate de celle vérité géométrique : qu une ligne droite est plus courte qu'une ligne brisée aboutissant à ses extrémités, ou est égale à cette ligne brisée, quand celle-ci vient s'aplatir sur la ligne droite. Mais nous voulons établir cette proposition par des considérations purement algébriques.

Prenons d'abord les deux expressions imaginaires U, et U,,

l\ zz a, 4-6,^ L\ z= fl, + 6,e.

On a

el il faut reconnaître Tinégalité suivante

Les deux membres étant positifs on peut les élever au carré et nous aurons à démontrer que Ton a bien

(A) a,a, + b,b, < v/(flf -h ôf) {a\ -f- ô*).

Si le premier membre est négatif, le second étant positif, l'inégalité est vraie : Supposons donc que le premier membre soit positif. Élevons alors les deux membres au carré, il vient

a\a\ + M,b,a,b, -h b\b\ < {à\ + b\) [a\ + b% ou finalement

Si Ton suppose a, 6,— 6«a,;zf o, l'inégalité précédente est vérifiée : dans le cas particulier où afi^ — bfi^ = «(0 1g module de la somme est égal à la somme des modules.

Nous ferons remarquer ici que la condition (0 ne suffit pas pour que Ton puisse dire, quand elle est vérifiée, que le module de la somme est égal à la somme des modules. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce point, mais nous voulons d'abord achever la démonstration du théorème qui nous occupe et considérer le cas général, celui où l'on compare le module d'une somme de n expressions imaginaires avec la somme des modules de ces expressions.

Soit

Uj, U,, . . . U„ désignant des expressions imaginaires. On peut poser

On a alors

U-.VH-U„.

Le théorème précédent donne

(i) ModU<ModV-f-ModU^.

D'ailleurs le théorème en question, «étant supposé vrai pour (n— - 1) expressions imaginaires, on a

(•i) ModV<ModU,-l-ModU. + ...-f-ModU„.j.

En combinant (i) et (2), il vient

ModU<ModU,-i-ModU, | ... |-NfodL\,.

Le théorème est donc général.

139. Théorème X. Le module dune différence est 2ih(s grand que la différence des modules ou tout au :noins égal à celte différence.

Jo dis que Ton a

ModU>ModU,- Modl',.

En effet de l'égalité (i) on déduit

Le théorème précédent donne donc

Mod U, < Mod U + Mod U, ou

ModU>ModU, — ModU,.

l^tO. Remarque. Lorsque Ton suppose

les théorèmes IX et X montrent que l'inégalité qui a lieu dans le cas général, se transforme dans ce cas particulier en une égalité.

LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES i3S

Le module de U est alors égal, ou à la somme, ou à la différence des modules des expressions imaginaires U, et U,. L'objet de la présente remarque est d'établir comment on peut distinguer, l'un de l'autre, ces deux cas particuliers.

Soient M, et M, les deux points qui correspondent aux imaginaires U, et U, ; l'égalité (i) prouve que ces points sont situés en ligne droite avec l'origine 0. Supposons, pour fixer les idées a, > o et ô, > o ; si a, est positif, b^ est aussi positif,

puisque h^ zz. -i-^; les points M, et M, sont situés du même côté

par rapport à l'origine, et si Ton suit avec soin la démonstration du théorème IX, on voit qu'elle conduit 5 la conclusion : Mod U rz Mod U, -h Mod U,. Mais supposons a, < o : alors on a aussi 6, < o. Reportons-nous à la démonstration du théorème IX; le premier membre de l'inégalité (A) est alors essentiellement négatif; l'élévation au carré des deux membres de cette inégalité n'est plus permise et la conclusion précédente n'est plus exacte.

Dans ce cas les deux points M, et M, sont encore en ligne droite avec l'origine, mais ils sont situés de part et d'autre de ce point et le module de U est alors égal à la différence des modules de U, et de U, (0-

1-41. Théorème XI. Pour qu'une fonction entière î{x), soit exactement divisible par {x — a — bi), il est nécessaire et suffisant que la condition f (a + bi) n: o soit vérifiée.

En effet, on peut toijgours diviser /'(a?) par {x— a—bi) conformément à la règle de la division algébrique et en se conformant à la convention faite sur la lettre i. On obtient ainsi l'identité

(i) f(x):^{x — a — ôt) ç (a;) + nu- m . Dans celte identité, ? {x) désigne une fonction entière et le

t. CecirAsiilte aussi de l'identité évidente

y/a*-\.b*^k sUi^ + h* = Vfl«{i~/c)'+6Mi— ^O*-

reste (m+nî) est indépendant de x. Si Ton suppose d^abord f[a+bi) zz o, l'identité précédente, quand on remplace x par (a + bi) donne l'égalité

on a donc

m-^ni nzo:

mzzo et nz=.o;

par suite f(x) est exactement divisible par (a? — a — bi). Réciproquement^ si la division se fait exactement, si Ton suppose, par conséquent, m = o et w := o ; Tidenlilé (1) prouve que pour x:=ia-hbiy on di f{a'\-bi)z=.o.

f . Démontrer que Vexpression ,"y représente un nombre réel quand on suppose 1 ^, ^, = o.