Démontrer que Von a

(»+X.)(t+X.) ... (t-HXp)=:(t7(« -\i) (« -A.0 - (' -Xpt). 11 suffit de remarquer l'ideotité évideote

ÉQUATIONS ET TRINOMES DU SECOND DEORÉ.

14*. Lorsqu'on égale à zéro la fonclion entière du second degré

(A) ax^ -h "ibx -\-cz=.Ki

on obtient Téqualion générale du second degré; les coefficients sont réels ou imaginaires. Nous nous proposons de résoudre celte équation. Mais nous devons définir d'abord ce qu'il faut entendre par là .

D'une façon générale, et sans distinguer les solutions réelles et les solutions imaginaires, on peut dire que résoudre une équation f{x) — o, (/(ic), représentant la fonclion entière telle que Ta définie Caucliy, Lee. XI) c'est trouver une expression de la forme (a -\ gi), telle que, étant substituée dans f(x)^ cette fonction prenne la forme (P4-Q0> ^^^^ les conditions Vzzk^ y Qrzo.

143. Pormiiles de résolution. Nous examinerons d'abord le cas où les coefficients a, 6, c, sont réels et nous supposerons a;zf o.

Posons

U s: ax* + '^^^ + c

on aura

aU ^{ax + hy — (6* — ac).

Cette forme donnée à l'équation U = o met en évidence l'importance de la valeur du nombre t zz 6* — ac; elle conduit à distinguer trois cas, suivant que t est positif, nul, ou négatif. Mais dans tous les cas on a

(i) a\5 :^{ax + b -\'\/T){ax -{-h ^\>T).

ÉQUATIONS ET TRINOMES DU SECOND DEGRÉ i3!)

Le trinôme U se trouve ainsi décomposé identiquement en facteurs du premier degré. Mais il faut ajouter que suivant les cas ces facteurs sont réels ou imaginaires. Dans Thypothèse <>0 on a pour satisfaire à la condition U -r o les deux valeurs réelles

formules dans lesquelles on a posé tzzb* — ac.

Si Ton suppose i <0, x' et af* sont des expressions imaginaires; mais d'après Tidentité (1), elles vérifient toujours l'équation U — o

144. Cas des racines ég^ales. Le cas où Ton suppose / zz. o, mérite d'être particulièrement signalé ici.

Nous voulons faire remarquer que la condition b* — aczz o, qui exprime que Téquation a ses deux racines égales, peut s écrire aussi

ou encore

"■ \a + cj^\a-hc) ■

Cette remarque a son importance parce que dans certains exemples, notamment en géométrie analytique, il est utile de pouvoir écrire un résultat sous des formes algébriques différentes; chacune de ces formes, mettant en évidence certaines propriétés de la courbe que l'on étudie.

14S. Relations entre les coefficients et les racines.

Des formules (B) on déduit

et aussi

De 068 formules on peut tirer beaucoup d*autres relations ; en parliculier celles qui donnent la somme ou la différence des carrés, la somme ou la différence des cubes, etc.... des racines de l'équation , ou des inverses de ces racines. Nous indiquerons seulement ici la formule qui donne la somme des puissances p des racines de Téqualion du second degré.

Posons d'abord

(i) \yzzx

L'équation

devient

(A') ax* -h 6rc 4- c :r o cO*y* -+- àXy 4- c =z o

c fc

Si - est positif, on pourra poser (a) X =: y -; soit aussi posé (3)

— ^^, réquation (A') devient

Soient y' et y" les racines de cette équation et soit

On a d'ailleurs

(5) y'/P^Py^ï-l-y'^» — O.

relations qui se déduisent des égalités

en les multipliant respectivement par y'^^ et y*^*. Ajoutons (4) et (5) il vient

C'est la relation de récurrence entre trois fonctions U consécutives. Elle permet de calculer de proche en proche, par voie récurrente, les fonctions U„ U„ elc... connaissant les deux premiers termes de la suite : savoir.

Uo=:2 U, = p.