ÉQUATIONS ET TRINOMES DU SECOND DEGRE
On trouve ainsi
146. Formule de Wariof^. Celle formule donne le dé- Teloppement de U^ suivanl les puissances décroissantes de ^.
Posons
Up=3r-+-A;r"'+A^r'-f- -. (7)
L'égalité
prouved'abordquesiU jest un polynôme entier ne renfermant que les puissances (p— 2), {p — 4) etc. .. de g; U^j un
autre polynôme entieriie renfermant que les puissances (p — 1) (p — 3), etc. . . de g; U sera lui aussi un polynôme entier en
g, ne renfermant que les puissances p, p— 2, elc .. de la lellre ^. Cette loi étant vraie pour les deux premières fondions U^et Up est donc générale.
On peut remarquer que la formule (X) donne
Ap =: - 1 -+- Ap i .
En supposant A^, - — (p - i) ; liypollièse permise parce que celte loi se vérifie pour les premières fondions U ; on en déduit
Nous allons maintenant déterminer le coefficient A*. On a, d'après (X) et (7),
ou
Changeons p en {p — i), puîsp en (/>— 2), etc....; on a successivement
Asn: Aj+ 3.
On a d'ailleurs AJ =: 2. Ajoutons ces égalités, il vient
A^=:[2 + 3+... + (;> — 2)] = [i+aH-...-h(p-a)]— 1,
ou
On trouve, de même
On peut alors soupçonner la loi suivie par les coefficients et nous allons montrer qu'on a généralement
(G) A^^( ^^k(P-^)(P-^-')'^'iP-^h+i)
Kl
ou, plus simplement,
Ap — (— 1 j P -j^ .
Remarquons d'abord que les derniers coefficients sont donnés par les formules
Ar=4-2
AlJ^, = 4iH-i
Ajj-^i — — 2 A;i+^=-(.4t4-3}
EQUATIONS ET TRINOMES DU SECOND DEGRÉ 143
Ces relations se vérifient sur les premières fonctions U, qui font précisément soupçonner celte loi. On les généralise sans difficulté au moyen de la formule (X*)
Ceci posé, (X) donne, en égalant, de part et d'autre, les coefficients de ^P'^'
Nous supposerons km 2 1, pour fixer les idées, et, par le changement successif de p en (;> — 1 ) , nous déduirons de régalité précédente une suite d'égalités dont la dernière sera
Ai/ Ai» a2i-1
Remarquons maintenant que Ton a
et ajoutant ces égalités, membre à membre, il vient Aj-2/r4-i-(A*:l-hA*:^ + ... 4-AÎr*).
La formule (C) est supposée vraie pour les nombres A^" * On a donc
. 3.4... (A-M)-h...+ (p — 2/:-f-i)...(p— Âf— 1) k,-.,k^ i 4- ^i;—^,
Appliquons au second membre Tidentité d'Euler (§ 9), on a
Ap=2*+i-h jj~rrprk
(p — k — i) ...(p — 2k'hi) — 2 .'d ,,,k
ou, en réduisant
^ = P Âl
La formule de Waring se trouve ainsi établie.
149. Remarque. Nous avons supposé plus haut, pour effectuer la transformation de l'équation
or* -{-bx-hc zzo et lui substituer Téquation
y' — Py -I- A = o
- > o ; si Ton a - < o on pose
ah zz — c, — T'p.
L'équation devient alors
Le calcul précédent peut être effectué et il n'y a d'autre modification à la formule de Waring que le changement des termes négatifs en termes positifs.
148. Cas où a teod vers sEéro. 11 peut arriver que les coefficients a, b, c renfermant un ou plusieurs paramètres variables,*, 6, Y- . • et que, pour certaines valeurs deces coefficientS; a prenne la valeur zéro. Dans Thypothèse a = o les
formules (B) donnunt a?' z=-, af'zz, — '—.
L'indétermination de x' n'est qu'apparente. Les formules (B), par une transformation évidente, peuvent s'écrire
x' zr X* zz -
On voit alors que dans l'hypothèse a =: o on a rr' = — y.
D'autre part, si Ton suppose que a tende vers zéro, la valeur de x^ croit au delà de toute limite.
