ÉQUATIONS. ET TRINOMES DU SECOND DEGRÉ
C'est ce que montre encore Téquation proposée mise sous la forme
Si Ton suppose que a tende vers zéro il y a deux façons de choisir a; en satisfaisant à la condition précédente : on peut admettre, en effet, que x prenne la valeur qui annule le se-
cond fecteur xzn — -; ou bien que x croisse au delà de toute
limite mais avec un signe bien déterminé, si la variation cfca est elle-ménie bien définie, c^est-à-dire si Ton sait que a tend vers zéro, en conservant toujours le signe -4-, ou toujours le signe — .
14IO. EjLameii du cas où a et b tendent vers azéro.
Les formules (B) dans lesquelles on suppose c^f o, prennent l'une et l'autre la forme — ; ainsi les deux racines croissent
sans limite. C'est aussi ce qu'indique l'équation proposée, écrite sous la forme (8).
Enfin si les trois coefficients a, b, c, tendent simultanément vers zéro, les formules donnent des valeurs indéterminées pourx' et a;". Il est évident en effet, qu'à la limite, tous les nombres imaginables satisfont à Téquation.
15pO. Condition nécessaire et suffisante pour que deux équations du sec^ond de^^é admettent une racine
Soient les deux équations
\ ax* -{-bx -hc no ^^^ I a'x^-^-b'x-hC —iy
1* Supposons d'abord ab' ^ ha' ;^o, et considérons x^ et x comme des inconnues distinctes : les valeurs de x* et de x qui vérifient simultanément ces deux équations sont
, bc' — cb' , ^ , ^ "■ ôô' — ba'
^"'ciU- lu'
et il li^y a pas d*autres valeurs de x vérilSant ces deux équations.
Si les deux équations admeltent la racine commune x'^ on a :
b& — cb'
x" zz
ah' — 60' ca' — ac'
ah' — h il' • Ainsi la condition est
(D) (ca' — ac') ' zi {hd - ch') {ah' — ha').
Elle a été obtenue en écrivant que le carré de xf soit égal à la valeur de x'\ Réciproquement^ si cette condition est remplie la valeur
Cù' — flc'
xzz^-- — —-, est une racine commune aux équations (9). ah' — ha' ^ '
51" Soit ah' — 6a' — o : ceci peut arriver quand a et a% étant
fonctions d'un même paramètre, tendent simultanément vers
zéro ; dans ce cas les deux équations ont une racine commune
infinie, et d^ailleurs la condition (D) est vérifiée. Si a et a' ne
sont pas nuls à la fois, supposons a^f o.
ha' De ah' — ha zi o, on tire h' z= — . Portons cette valeur dans
la seconde équation, elle devient :
'-{ax'-\'hx)-\-c — u.
Soit o/ une racine commune, on a
ax''-{'hx' z=: — c,
par suite
ou enfin
ac' — ca' ~ o.
Or la condition (D) se réduit à ac' — va •=. o, lorsque Ton a
ah* -^ba' — o.
En résumé la condition (D) est générale.
ÉgLATlONS ET TRINOMES DU SECOND DEGRÉ 147
t&l. La relation précédente est souvent employée; notamment dans les questions de géométrie analytique lorsque Ton veut éliminer un paramètre variable X, entre les deux relations.
PX» f QX + K =0
Le résultat de Télimination est
(PU' — RP')' - (PQ' - QP') (QH' - HQ').
On récrit immédiatement, en appliquant la règle suivante : Ayant formé le tableau suivant, avec les coefficients donnés,
si ton prend, successivanent, deux colonnes de ce tableau rectangulaire on obtient trois déterminante, lesquels sont en progression géométrique ; le terme moyen étant celui qu'on a obtenu en supprimant la colonne du milieu, La relation précédente peut encore s'écrire :
(QQ'- 2PR'— •iRP')* = (Q*-4PR)(Q''— ÎP'K ^
Cette autre forme est, en général, plus compliquée que la première : pourtant, dans certains cas, il peut être utile de la connaitre et de rappliquer. On verra, en effet, en géométrie analytique qu'il importe à Tétude et à la construction d'une courbe, de pouvoir écrire son équation sous des formes diverse^;, mais identiques; les formes précédentes peuvent, pour ce molif, être Tune et Tautre utilisées dans Tétude et la construction des courbes :
1519. Dé€*oniposUioii du trinéuie du second de^ré* Nous avons déjà fait remarquer que l'identité (i ) résout, tout à la fois, le problème de la décomposition du trinôme en facteurs, réels ou imaginaires, du premier degré et celui qui a pour but de chercher les racines, réelles ou imaginaires, a l'équation du second degré. Si l'on désigne, comme nous lavons fait plus haut, par ocf et ai' ces racines, on a
aa^ -t- 'ibx+c s a {x — a;') {x — a/')*
La décomposition précédente est d'un usage constant dans la discussion des problèmes du second degré. Mais cette discussion se trouve ordinairement simplifiée quand on lui applique les théorèmes suivants, qui sont d'ailleurs une conséquence immédiate de cette décomposition.
158. Théorème. Étant donnée une équation du second degré f {x) =: o à coefficients réels si F on substitue à x les nombres a, P ; i^ siî (a) et f (fi) sont de signes contraires, V équation a denr racines réelles et tuyiede ces racines est comprise entre a et J3. 2*» Si{(3i) et f (^) ont le même signCy il y a entre xet& deux racines de V équation, ou il n'y en a aucune.
En effet, on a dans ce cas l'identité :
f{x) =: ax* -h ibx-\-c ^ a {x — x') (x — ir").
Ello prouve que, en supposant a>o, et a/<a;", tout nombre inférieur à a/, ou supérieur à x"y substitué à x donne un résultat positif. Au contraire le nombre substitué donne un résultat négatif, sMl est compris entre x' et xf\
Cette remarque faite, si Ton suppose d'abord/* (a) et/ (3) de signes contraires on peut donc dire que Tun de ces nombres, a ou 6, est compris dans Tintervalle qui sépare x' et x'*\ Tautre, étant situé hors de cet intervalle. Il y a donc une racine unique entre a et 3.
Supposons maintenant /(a) et /(S) de même signe. On doit distinguer deux cas. Dans une première hypothèse on peut supposer a et ô situés dans Tintervalle x' a/'; il n'y a alors aucune racine entre a et 6: dans une seconde hypothèse on peut admettre que a et 6 sont situés, l'un et l'autre, hors de l'intervalle x\ x" : les deux racines x' et x" sont alors situées dans rintervalle a, 6.
1&4. Théorème. Soit f (x) zz ax^ + nbx + c n: o u*ie rquation du second degré il coefficients réels \ si Von suppose 1—6' — rtc-< o, les deux nombi*es f (a) et f (6), onty quels que 'Huicnl X et fi, toujours le même signe, savoir celui de a.
L*identité
prouve que si t est négatif, comme nous le supposons, le second nombre est toujours positif.
Ainsi on a quel que soie x.
af(x)>o.
Si Ton suppose a > o on a donc quel que soit x, f[x) > o. De même si a < o on doit avoir, pour toutes les valeurs de x, f(x) < o. Dans tous les cas f{x) a un signe toujours le même, ce signe étant celui du coefficient a.
1&&. Théorème. Lorsque dans t équation du second degrt* {(x) zzo on substitue à xun nombre très grande ou seulement supérietir à la plus grande des deux racines, le résultat ohtenu a le même signe que celui du premier coefficient.
Si les racines de f[x)-=,o sont imaginaires, nous venons de reconnaître que le signe Aef[x) était constamment le même que celui de a. Supposons maintenant que les racines soieni réelles, l'identité
f{x):sa (x — x') (x — xf')
prouve que, pour toute valeur de x supérieureà la plus grande des deux racines, f{x) a le même signe quer/.
\. On considère la fonctitni
on propose de démontrer que fi Ton pose
on a :
r -^p(p-,)r ^+(^Lz^^^îz± gp-» ^/>-m;>-y-6) ^^
le dernier terme H étcml égal :
ï^ A la moiti: de r indice p prise avec le signe —, *i p est un multiple de 4 ;
û'» A (+0 si l'indice est un multiple de 4+i ;
"î* A la moitié de r indice p si celui-ci est un multiple de /^, -{-j;
4* Ou enfin à {—}) si l'indice p est un multiple de 4» + 3*
On remarque d'abord que les fonctions Up satisfont à la loi de récurrence,
y, - ?Up, + i)p, = 0
avec les conditions initiales Uo =:(> U i = i .
On peut ainsi calculer Us » Us, . . . et Ton trouve la formule proposée eu suivant la marche adoptée pour établir la formule de Waring.
1t. Calculer '—, — — et cosp6, en fonction de cos b seulement, !•» La formule
sinp6 4-sin(/) — a)6:=:2cos Asin(p — i)b
donne eu posant :
l ,. z= — r^-r- et u cos bzzft / sm 6
^p - H^p-i + ^p^i = «; avec To = o, U, zr I . i» De nit'nie, en partani de la formul(>
cos;)A-f-cos(;î — *>.)bz:z «cosAcos(/>— i)6
l'I en poi^ant
2C0S/?6~ Vp '< COS 6 = ji,
4 in a :
avec les conditions initiales
etc. .
