ALGÈBRE

-!• Déftnitton des identités. Lorsque deux expressions algébriques A, B dépendant des lettres a, b, c,..,, prennent des valeurs égales, quelles que soient les valeurs numériques attribuées à ces lettres, nous dirons que AetB sont des expressions j algébriques identiques. Pour noter cette propriété nous convenons d'écrire

As:B,

qui se lit : A identique à B.

Les identités sont souvent évidentes ou n'exigent, pour être

1 . Les premières définitions de l'aigëbre ; les quatre opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication et division , sont supposées connues des lecteurs de ce livre. La division algébrique qui fait partie du programme d^admission à TÉcole Polytechnique, se trouve exposée dans une note placée Ik la fia de ce livre.

démontrées, que des calculs simples. Ainsi les identités suivantes :

o' + ô'+c'— 3a6c=(a+6 + c)(a* + 6*+c*— aô— 6c— ca)

et beaucoup d'autres, se reconnaissent sans difficulté. Mais il n'en est pas toujours ainsi. La vérification d'une identité exige ordinairement un certain effort de calcul et présente quelquefois des difficultés. Reconnaître l'exactitude d'une identité donnée est un des premiers problèmes que soulève Talgèbre.

59* Nous nous proposons d'indiquer ici, en même temps que certaines applications des identités, quelques procédés élémentaires de calcul algébrique permettant de vérifier ou de trouver des identités.

Prenons d'abord l'identité évidente

(i) (a*+ b*) {c'+d'):s:{ac + bd)* + {bc - ad)\

Elle exprime que : le produit de deux nombres qui sont chacun une somme de deux carrés est aussi une somme de deux carrés. Cette remarque s'applique nécessairement à un produit de &cteurs en nombre quelconque et de la forme arithmétique (a* H- 6*). On peut donc énoncer la propriété suivante :

Théorème. Le pi^oduit de plusieurs nombres de la forme arithmétique (a* H- 6*) est aussi un nombre de cette forme.

d« On peut généraliser la proposition précédente. On a, en effet,

(a* +p6*) (c* +pcr) =: [ac +pbdy +p {ad- bc)\

Ainsi :

TuéoREiîE. Le produit de plusieurs nombres de la forme arithmétique {a*-hpb*) est aussi un nombre de cette formée.

LES IDEiNTITÉS 3

4. Voici une autre généralisation de l'identité (i). On vérifie facilement que

{a*+b'+c'+(r) (a'*-(-6"+c'*+rf'*) s: {aa'+bb'+cc'+ddy

-I- (ab'^ba'—cd'+d&y + {ac'-ca'+bd'—dby

Il résulte de cette identité la proposition suivante :

Théorème. Le produit de plusieurs nombres de la forme arithmétique (a* -h 6* -h c* -hcT) est encore un nombre de cette forme (*)•

5. Nous donnerons maintenant quelques applications des identités et nous montrerons comment elles permettent quelquefois de reconnaître des nombres composés.

Considérons d'abord Tidentité

Soit ic zz 2*+â , on aura

D'après cette identité (*) fe^ nombres de la forme arithmétique 2**+^* + i sont composés. Si Ton prend, en particulier, &z= i4, on a

25«-f izz 288 230376 151711 745 rz 5. 107 367 629.536 903 681 ('). B» Prenons aussi l'identité

1. Ce théorème est la conséquence évidente de cette propriété connue : Un nombre entier est toujours la somme de quatre carrés entiers.