Identité due à M. Le Lasseur
3. Ce nombre considérable 2**4" ^ ^ ^^ décomposé en facteurs premiers par M. F. Landry, après des calculs qui, entrepris par une méthode rapide et particulière, ont duré plusieurs années.
elle donne le théorème suivant dû à Sophie Germain :
THBOREyB. Aucun nombre de la forme arithmétique (a;*-f-4), excepté 5, n'est premier.
L'identité
donne un théorème analogue, savoir :
l!BÈohiuz.Aucunnombrede la forme arithmétique (a?*-|-x'-hi ), excepté 3, n'est premier.
9. Sans multiplier autrement ces exemples qui suffisent à montrer Timportance des identités les plus simples, nous nous proposons maintenant d'indiquer quelques méthodes élémentaires qui permettent de reconnaître Texactitude d'une identité proposée.
La méthode la plus simple consiste dans les cas peu difficiles, comme ceux que nous avons examinés jusqu'ici, à effectuer les calculs indiqués. On vérifie ainsi que les deux membres de Tégalité proposée sont absolument semblables. Dans d'autres cas on fait subir à l'égalité des transformations qui ont pour but de rendre manifeste que les deux quantités proposées sont bien identiques. Enfin, dans certaines identités, dans celles notamment que Ton rencontre dans l'analyse combinatoire, et qui n'ont lieu que pour des valeurs entières, mais arbitraires de la lettre n, on vérifie que les deux membres de l'identité proposée prennent des valeurs égales pour wzii, et l'on démontre que l'égalité supposée vraie pour ni= A, subsiste pour n =i A -+- !•
8. Prenons, pour montrer l'application de ces idées générales, l'identité suivante, due à M. Catalan
H + 1 n 4" *-* '^^ a 3 an
Première démonstration. Transformons les deux membres et ajoutons, à chacun d'eux, la quantité
c'esl-à-dire,
Le premier membre devient identique au second, quand on a
supprimé, dans celui-ci, les termes a flfec lés des signes H- et — ,
termes qui sont égaux deux à deux.
1 1 Seconde démonstration. Pour w zr i on a : - = i .
Supposons donc que Ton ait vérifié Tégalité
h étant un nombre entier particulier. On a, d'ailleurs,
2A -}" * 2A -f" 2 A + * aA -|- 1 2A + 2 *
Par suite,
L'égalité subsiste donc quand, dans l'identité proposée, on donne à nia valeur A + i. L'identité est donc vérifiée pour toutes les valeurs entières et positives de n.
0« Considérons encore Tidentité
Cette identité qui se rencontre dans plusieurs questions d'analyse et qui est due à Euler, a lieu pour toutes les valeurs entières et positives des lettres x, y, z, en supposant que z — y soit supérieur ou au moins égal à x. Sa vérification directe présente des ç^fflcultés; mais l'autre méthode prouve l'exactitude de l'identité, avec la plus grande simplicité. On reconnaît d'abord que dans l'hypothèse xzzi eiz-^yzn^ zeiy étant
d*a illeurs arbitraires, les deux membres sont identiques à 1.2 ... (y H- 1). Si Ton suppose que (z — y) reste fixe et si Ton change x en (07+1), on'voit que Tégalilé subsiste. Enfin, x restant fixe, si Ton change [z — y) en (^— y-4- 1), l'égalité subsiste encore. Dans ces conditions, l'identité est donc démontrée.
10« Méthode des eoeffielents indétennlnésu Lorsqu'une expression algébrique est (d'après une loi reconnue ou seulement soupçonnée) susceptible d'être développée identiquement sous une forme nouvelle, on peut employer, pour établir Tidentité, la méthode des coefficients indéterminés. On écrit, avec des coefficients inconnus, mais que Ton se propose précisément de déterminer, l'identité en question. On calcule ensuite ces coefficients par des procédés divers, procédés qui varient avec les identités que Ton a à considérer.
Il* Nous donnerons, comme exemple de cette méthode très générale, Tapplication qu'on peut faire d'elle à l'établissement du développement de (a? 4- a)»» (m étant entier et positif; suivant les puissances décroissantes de x.
On reconnaît immédiatement que le développement {x-^-a)^ est une fonction entière de degré m, en a; ; on peut donc poser
mais il faut calculer les coefficients Amj, Am,2, ..., Am,m-i.
1*" Multiplions les deux membres de l'identité précédente par [x -4- a), on aura
(2) (a;+a)»»+'s:x»»+i+Am.i
aiT^+Am 2 +Am,l
a*j?"«-»+...+Am*
+Am,Jt— I
On peut aussi écrire
(3) (a;+a)'»+»s:x«+i + Am+i,i«^^+ Am+i,2a*a;'«-» + . . .
d'après la notation de Tidentité (1).
Si nous identifions les seconds membres (a) et (3), on aura d'abord
Am-|-l,l^=4 +Am,l
et par suite
Am.l ^^ i H-Am-1,
Ail izi+Au
Ajoutons et remarquons que Ai.i iz i, il vient
AiiH.i=rm+i ou, si Ton préfère,
Am = ^
2* On a ensuite
Am^-i ,2 ZI Am.î + m,
par suite
Am.2=Aiit-i,«+(m — i)
A3.2Z=Aa.2+^' Ajoutons et remarquons que A2.2 = i,il vient
Am+i,2 —
OU encore
Am.î —
3« Les deux résultats déjà obtenus, Aw.i iz— , Am.az:^^^
permettent de pressentir la loi suivie par les coefficients cherchés et nous admettrons que
m(m— i)...(m — ft+*)
Am.ifc — r ,
k étant un nombre entier d'une valeur au plus égale à m On a encore par Tidentification de (a) et de (3)
Am+l,* Z= Am* + Am.A:-.!
Am.Ar ^Z: Am— t,A "T Am i,jfe|
A*^.! ,* — A*,Ar + A*,* - 1 .
ajoutons et remplaçons âa.a par i, on aura
i.a...(A;— i)+a.3...ft+3.4...(/f+i)+...+(m— Aî+a)...^
Mais si dans ridentité (A) établie plus haut, on suppose iczra, yzzk — a, 2 = m, chose possible puisque k, m sont entiers et que z — y := (m — A) + 2 est plus grand ou égal à Xy on obtient
/i N . o f I I / f I \ {m+i)m...{m—k+2) i.2...(/c— i)+a.3.../f+...+ (m— A:+a)...ms:^^ — !— ^ — -^ !— ^;
par suite,
(7W+t)m>..(m-— fe+2)
Am+l,* — j-i \ A
formule qui donne
On a donc finalement
(x + a)»»s:a:« -^ — ax^-^ -\ — ^^ ^ a*x^^+ . . .
w( W-— 1 ) . . . (w— ft+ 0
c'est la formule du binôme de Newton, formule que nous établirons plus loin, par des considérations différentes.
1I19* Nous indiquerons maintenant quelques méthodes permettant de trouver des identités.
Considérons une fonction algébrique de la lettre x ; nous désignerons cette fonction par la notation Ux et nous poserons
Ux — Ux-I = Vx.
1. Nous écriyoDs, d'après une notation adoptée, kl pour représenter le produit 1 .a. . . ib. Le symbole k I s'énonce factwHel k, k\
De cette identité, on déduit successivement
On a donc Exemples, i* soit
Ux=-4-;
alors
V,zr •
et Ton a
a* Soit, généralement,
"^{x+i){x+2)...{x+hy
on trouve, par cette méthode,
i(a?+i)(jg+a)...(a?+A)— i.a...A__ i
3' Soit encore
si Ton pose
on aura
et
x(x+i),,. — {x+hy
Sx.iiz: i+2-|-...+a?,
Vx ZZ 20? + 1
Ox,i — — .
4* Soit enfin
Ux=:(x+i)'.
Ici Ton a
et, en posant
on trouve
Sx,2 = l' + îï*+.-.+^*
Sx.2 g
US* Dans d*autres cas on posera De cette identité on déduit la suivante :
Ux
Exemple. Soit
,, =V.Vx-i...Vi.
Ux= *
On a
Vx = .- *
par suite,
^=(— ;)(^-3-)--('-^)- On a donc
-ï ('-î)(-4) (-;)(-4)-('-.-iT)
