SoitoT un nombre irrationnel défini par la formule
On sait que
y 2 rz 1. 4 lîî . . .
En prenant la formule (1) il faudrait, pour calculer a;, effectuer la division de Tunité par 0, 320... Si, au contraire, on remarque que Ton a
une simple addition, &it connaître la valeur de x,
X zz 3,i44. • •
Mais il faut aussi observer, et ceci constitue un second avantage de la transformation précédente, que la valeur ainsi trouvée 3, 144.. représente rinconnue avec une approximation qu*on détermine immédiatement et qui est inférieure
à , puisque les nombres iM-i, . . et 1,732. . . sont appro-
chés avec une erreur absolue plus petite que
1V&. TransConDaAIoii des expressions irrailoa-
iraeÉioaiiaires. Nous supposons d*abord que le dénominateur est de la forme v/a, ou y/ a -+■ V P* ou y/a 4- v^P -H \/ïlo Soit
on a évidemment
Py/l
2» Soit
xzn
On multiplie, haut et bas, par va — v^3 et, on obtient pour a:, la valeur
3p Soit maintenant
XZZ
Va-4-V^P-l-V-Y
On transforme d'abord l'expression en multipliant les deux termes par
et Ton obtient :
PW^ + vl — Vy)
x:=z • ^zi.
a-l-P — Y-H*Va&
On est ainsi ramené au second cas. En multipliant de nouveau, haut et bas» par (« -|. 3 • y — V«0) I^ dénominateur de X sera rationnel.
Remarqae. — La transformation précédente peut se faire en employant Tun ou Tautre des facteurs
Va-4-V^ — \/y, V^a — v/p-f-V^Y, — V^-HV^ + V^Y*
On peut profiter de cette remarque pour choisir entre ceuxci, celui qui donne lieu au calcul le plus simple. Prenons par exemple la quantité irrationnelle
*rr: -
on voit que le facteur
se prête plus commodément à la transformation et donne
ti* — z: •
îV 6
ou
*JLr ^^m *
Plus généralement Texpression
xzn
V/a-hV?-|-Va-h0
TRANSFORMATION -DES EXPRESSIONS IRRATIONNELLES • i13
peot s'écrire, par celte transformation.
IVO. Considérons encore l'expression irrationnelle
xzr. —z ^
On multiplie, haut et bas, par
OU par Tun des facteurs analogues, et Ton est rameoé au cas précédent.
IW» Remarque. On peut, assez souvent, abréger ce dernier calcul en appliquant la remarque suivante.
L'expression \ot-h\ ^-hVy-^-Và esi décomposable en deux
facteurs de la forme v^ A -h v'B, quand les qtmtre nombres «, P, V, î forment une proportion .
Soit
Si nous posons
Y 3 on aura %
Cette expression peut s'écrire aussi
Exemple. Soit :
xz:
Ayant observé que lo.ii = iS.ii» on trouve en appliquant la remarque précédente
xz=.
(v/îi + v''3)(v54.v/7i
ou
xzz
tHH* L*idée précédente peutèlre appliquée, utilement, dans des cas analogues.
Soit, par exemple, l'expression
xzz
dans laquelle on a
On peut, par la transformation indiquée tout à l'heure, établir Tégalité
La valeur proposée s'écrit alors :
en multipliant, haut et bas, par(v'^ — v^)^ le dénominateur devient une somme de quatre radicaux carrés.
IVO. Méthode g^énérale pour rendre ratloniiel le dénomiiiateor d*ane fracÉton, loraqoe eelol-el est la somme algébrique de radleanx earrês.
Les artifices de calcul que nous venons d'exposer sont ceux auxquels on a le plus souvent recours dans la pratique, car
il est rare qu*on ait à calculer, ou à transformer, des expressions de la forme
2 Va,
plus compliquées que celles que nous venons d'examiner. Hais il existe une méthode générale pour rendre rationnel le dénominateur des expressions de la forme (i), et, au moins au point de vue théorique, il est intéressant de montrer que le problème qui nous occupe peut être résolu quel que soit le nombre des radicaux carrés qui constititent le dénominaleur
dez.
Soit donc
Z zz ■-:::z =z =z
vA-^-V«,.••^-vV
les radicaux ayant un signe explicite, pour que z soit bien déterminé.
Posons
x, rz va,, X, z=, v'a,, . . • a;^ = V ay
et considérons tous les polynômes que Ton peut déduire de l'expression
*^'i in '^i it ^i it • • • JL *^'i»>
en choisissant les signes par toutes les combinaisons possibles.
On peut, pour trouver ces polynômes, opérer de la manière
suivante. Le signe de x^ peut toujours ôlre choisi arbitraire-
A ment, puisque Ton peut, dans la fraction — , changer les
signes des deux termes. Supposons donc que x^ ait explicitement le signe -h. On formera fè tableau
iCj "T" «37j, X ^ —"" X,
J/| "T" x^ -H Xj, iC| — x^ -+" X'g
•Z?j "T" X^ — iCj, J/j •—' X^ ■— fl/3
a?, -h ip, -+- x, S- aî4, a;, —x^-hx^ + x,,
X^-hX^-hX^ —^4» ^} — X^-hX^—X^
a?, + a?, — x, -h a?4, a;^ — a;^ — iCj -f- X4
3/j "t" ««/g ■""" X^ ""• M/^f iP j ~~" X^ ~"^ 3/ J — ^ iP^
En général, on voit que, si P,, P,. . . P^ désignent les polynômes formés avec les (p—i) lettres a;, , a?, . . . x^j, on a ib — a'^-;
et qae les polynômes qai correspondent aux p lettres a:,, x,. . . a?p, sont
P, + a;^, P, -h Xp, ... Pjt + aTp Pj a;^, Pj aîjj,, . . . Pj^ — ar^
Le produit U, de ces polynômes est donc
U = (Pf-xj)(P^-a:j)...(PiS-xj).
Ainsi U est une fonction entière de a:*; ou de a^. Mais U ne
change pas, par la permutation deux à deux, des lettres x,, ^s) ••• a7^9 ot ceci est une conséquence delà loi môme qui sert dedéfinition à cette fonction. U est donc déjà reconnu que \J est une fonction rationnelle des lettres a^, a,, a^.
Il reste encore à vérifier que U est une fonction entière et rationnelle par rapport à x^. Observons, à cet effet, que dans l'expression de U, à tout polynôme (a?, -h Q,) correspond le polynôme {x^ — Q,) ; on aura donc
U = (a^-QÎ)Kl-0|).-.K-OS.
Cette égalité prouve que U est aussi une fonction entière^ et Rationnelle de x^ .
Ceci posé, désignons par XJe dénominateur proposé;
et considérons tous les polynômes analogues X|, X„ . • «
X^ qui, multipliés entre eux^ et multipliés par X^ constituent la fonction U. L'expression proposée Zj peut donc s'écrire
