A AX,X, • • • X

Son dénominateur est alors rationnel et égal à cette fonction U, que nous venons de définir.

Cette transformation repose sur un principe, que nous établirons d'abord et que nous énoncerons ainsi :

Théorème. Si a et a' sont des nombres rationne/s, et si 3 et P' ne sont pas des carrés par faits y on ne peut pas avoir

si [on ne suppose pas En effet Tégalité proposée peut s'écrire

Les deux nombres v/3,(«'—a-+-V^) étant égaux, leurscarrés sont aussi égaux. On a donc

Si Ton suppose (a'— a) ;2l o, on peut alors résoudre cette égalité par rapport à V&'. On trouve pour V^' un quotient dont les deux termes sont rationnels, et il n*en peut être ainsi ; puisque nous supposons que ^' n'est pas un carré parfait. Ainsi il faut supposer que a = a' : on a donc d'après Tégalilé

181. Ceci posé) nous nous proposons d'effectuer sur Texpression

la transformation qui a pour but de mettre cette quantité irrationnelle identiquement sous la forme \/x 4- y y. Lorsque x et y sont des quantités rationnelles, on observera qu'il y a avantage à calculer u par la formule

uzzsjx-hy/y

1* parce que Ton extrait la racine carrée de deux nombres connus; â'» parce que Ton évalue plus facilement Terreur absolue qui a été commise dans le calcul.

Posons donc, les signes des radicaux étant explicites,

(i) Va + V^ = V^ + VV-

Nous supposons que b est un nombre positif, mais qu'il n'est pas un carré parfait.

L'égalité (i) donne

^y ne peut être un carré parfait, puisque \[b est une quantité irrationnelle. On peut donc appliquer ici le principe précédent et Ton obtient, pour déterminer xQiy les deux équations

x-^y zr a lixyzz h.

On en tire, par combinaison, la relation

{x^ yyz=.a* — b.

Si X et y, et par suite (x — y), sont commensurables, il faut supposer que a* — b est un carré parfait.

Soit, a* — bz=. k\ k étant un nombre positif représentant la valeur arithmétique de la racine carrée de a* — b, et soit x, le plus grand des deux nombres cherchés.' On a

par suite ,

/ a-hk

xzz

et finalement

C'est la formule cherchée.

1I85S. Remarque I. Nous avons supposé dans ce qui précède que a; et ^ étaient des nombres commensurables. On peut remarquer que la transformation que nous venons d'effectuer peut être encore employée dans le cas où x et y sont incommensurables. Mais alors cette transformation (au moins, au point de vue pratique) n'est pas avantageuse.

En eflfet on satisfait à Tégalité (a), qi^ls qtie soient x et y, en posant

x-hyzza ixy:z: b.

On tire de ces équations

xzz--h-\'a —b

On a donc

(A) Va + v/^:=V +V •

Cette idenlilé a lieu quels que soient a et b, mais elle n'est avantageuse que si (o* — b) est un carré parfait.