Remarque II. Un calcul tout semblable donne la

transformation de rirrationneUei/^ — v'ft, en une expression

de la forme {^x — >Jy) Les signes étant explicites, on trouve

V^^s Sj"-^^^'-^ - y/a-^a^-b^

184. Remarque m. Z^ors^ua ^^ dernier terme q, de téquation bicarrée

est un carré parfait^ la transformation précédente s'applique avantageusement.

On a en effet :

Prenons, par exemple, la racine x^

La quantité (a* — &), dont il a été question tout à Tlieupe, est ici égale à g. Si g est un carré parfait la transformation est donc avantageuse

n^t^^EiiLetaple. Résoudre r équation

Posons

^ = y, on trouve

Considérons Tune des racines a:,,

On a, ici, a* — ô = 4 ; par conséquent * = a, et, par suite,

On trouve ainsi

Les autres racines sont :

x^ zz v/3 — 1

a? j — ~^ Xa X/^ZZ — X^\

ou, a près,

JOOO

a?, n 2,782 Xj iz 0,782

— x^zz 2,78^

1I80. Remariiaell^. Si Ton suppose que [a^ — b) soit négatif; les formules (A) et (B) sont, bien entendu, toigours exactes ; mais elles n'offrent, en général, aucune utilité parce que les seconds membres sont imaginaires. Ainsi, d'après la fonnule (A), on a

si Fon cherche, d'autre part, à débarrasser le second membre des imaginaires qu'il renferme; si l'on pose

on a

= A — Bt.

i84 QUATORZIÈME LEÇON

On trouve alors, par le calcul que nous avons fait connaître précédemment, pour extraire la racine carrée d'une quantité imaginaire,

On retombe ainsi sur la quantité même que Ton voulait transformer. Il n'en pouvait être différemment. L'égalité

v/i 4- v/5 = (A -+- Bi) -|-(A - Bî) donne, en effet,

A - - V* -Hv/5.

On rencontre ici un exemple de ces impossibilités algébriques, impossibilités qu'on ne peut pas toujours prévoiràpn'ori, mais que révèle le calcul. Si Ton veut transformer, comme

nous avons essayé de le faire, l'expression i/ « H- v'^; on obtient des quantités, en apparence, imaginaires : et si Ton cherche à débarrasser ces expressions, des imaginaires qu'elles semblent renfermer, on retombe sur le point de départ; nous voulons dire sur l'expression qu'on voulait transformer. C'est là un de ces cas irréductibles, dont l'analyse offre quelques exemples curieux, et qui semblent constituer comme un cercle vicieux algébrique.

181f. Irrationnelles cubiques. Nous terminerons cette leçon en montrant comment on peut, dans quelques cas simples, transformer des expressions renfermant des radicaux du troisième degré.

\^ Soit là quantité x,

Va + V6 L'identité

a' -h *' = (« + 6X«' - "ft + *').

donne On a donc

p (V? -K6 + Vë]

xzz

Le dénominateur de x est alors rationnel. 2* soit maintenant la quantité x,

x:zi

Va + Vô + Vy L'identité

a*-4- ô'-f- c'— 3a6c s: (a 4- ô 4- c)(a*+ 6* + c*— a6 — ac — 6c),

prouve que si Ton pose

a z=. Va, 6 =: V6, c iz Vy ; et

on a

Si «67 est un cube, la transformation de x se trouve effectuée; le nouveau dénominateur est rationnel : si non, on remarquera que celui-ci peut s'écrire

Y (a -f- 6 + y)' 4- V— 27aSY-

et l'on retombe dans le cas traité précédemment. 3"" Soit enfin la quantité x^

et supposons que Ton ait -7=-. On voit facilement que le

dénominateur est le produit de deux &cteurs de la forme

VU -h v'V, et Ton retombe dans le premier cas.

i. Démontrer que la somme de deux radicaux carrés^ radicaux portant sur des quantités commensuraàles et qui ne sont pas cof^s parfaits, n'est jamais une quantité rationnelle.

Si Ton avait

a=\/3-+-v/Y, on aurait donc

ce qui prouve que Py serait rationnel ; on a d'ailleurs

av/p = 3 + Vg^;etc...

S. Démontrer que n a, p» y ^ désignent des quantités commensuraàles et « p, Y Ô ne sont pas des carrés parfaits^ on ne peut pas avoir

On élève l'égalité au carré et, par une combinaison évidente, on e»t conduit À l'égalité a* =z y ou ol* = ^ qui sont Tune et l'autre incompatibles avec l'hypothèse.

8. Démontrer que si b n'est pas un canv parfait la quantité «/^^ • ^

n*est pas réductible à la forme Vx+ Vy ; ^ et y étant commensurables . Par deux élévations au carré, successives, on trouve

v/6 — (a? -t- y — a)*-hiry -+^iiyxy {x -j-y-^ay

by n'étant pas un carré parfait il faudrait {Ex. /} que Ton eut

la première égalité est impossible si l'on suppose x et y positifs.

i:XERGIGES 187