Transformer l'expression

— V 4aô -h 2 (a H- *) (« — 6)\/— I

(Lacroix.) On trouve

xz=.[a-\-b)-\-{a — b) yj — i .

H. Transformer l'expression

OJzrWa' —

a6 + - -h 2 y a'6 — aa'ô' -h —

(f^croix.) Le résultat qu'on doit trouver est

X ■=. sjab + V/ a* — lab -|- ■-

fit. i)aiw ^t«?/ cas estait possible de transformer i expression

X— ^a-^-yJb ?

Montrer que la h^amformée ne peut jamais être de la forme yjx -f- \/y ; mais qu'elle peut être, pour une infinité de valeurs de X, de la forme

(Lacroix.)

La transformation devient aTantagense en disposant de X de façon que X (a* — b) soit un cube parfait.

Par exemple :

de même

V^52 -h 3o v^3 := (a -h\/3) Va.

aUlNZIÈME LEÇON

188. Définition. Lorsque la différence entre deux quantités A, B, n'est pas égale à zéro, on dit que ces quantités sont inégales et Ton exprime ce fait en écrivant

A?zfBO)

Si la différence est positive, on dit que A est plus grand que B ; au contraire A est plus petit que B si la différence est négative. Dans le premier cas on écrit : A > B ; dans le second A<B. Dans les égalités que nous avons considérées jusqu'ici nous avons distingué deux genres ; le premier était formé par ^ les égalités que nous avons nommées équations^ ce sont celles qui n^ont lieu que pour certaines valeurs attribuées aux lettres, valeurs en nombre fini, et convenablement choisies ; Fautre comprenait les égalités que nous avons nommées identitésy et qui étaient vérifiées pour une infinité de valeurs données aux lettres.

De mème^ on peut distinguer les inégalités en deux genres suivant que Tinégalité proposée a lieu pour toutes les valeurs numériques attribuées aux lettres; ou seulement pour des valeurs qui peuvent être en nombre infini, mais qui sont coni'^ prises entre des limites bien déterminées.

Résoudre une inégalité renfermant les lettres x, y,.,, c^est chercher entre quelles limites, bien déterminées, peuvent être prises les valeurs de ces lettres pour que Tinégalité soit véri*-

i. Lisez : A différent de B.

fiée. Si ces limites sont arbitraires, c'est-à-dire si rinégalité est vérifiée pour toutes les valeurs numériques des lettres, nous exprimerons ce fait en disant que Vinégalité est absolue. Ainsi :

a* + ft* H- c* — a6 — «c — 60 -h 1 > o est une inégalité absolue. Elle peut s'écrire en effet :

-(a-^^r+-(6-c)*H-~(c-a)*-hi>o;

et, sous cette forme, on reconnaît qu^elle est vérifiée quelles que soient les valeurs de a, b, c.

Au contraire l'inégalité :

qui peut s^écrîre,

n'a lieu que si la valeur de x est prise dans l'intervalle i, p : ce n'est donc pas une inégalité absolue.

Assez souvent, et notamment dans les discussions que soulèvent les problèmes du second degré, on a à résoudre une inégalité, telle que U > o ; mais on admet aussi, dans cette discussion, ce qu'on peut appeler les valeurs extrêmes^ celles qui donnent U :=: o. On écrit alors que la condition de possibilité du problème donné est U >. o. Les valeurs cherchées sont, dans ce cas, celles qui satisfont : l*à Tinégalilé U>o; 2* à réquation U — 0.

Nous rappellerons d'abord quelques principes qui sont fondamentaux dans le calcul des inégalités.

189. Théorème 1. On peut ajouter ou retrancher* wie même quantité aux deux membres dune inégalité.

Il faut entendre, par cet énoncé, qu'au lieu de résoudre l'inégalité

on peut résoudre^ m étant positif ou négatif, Tinégalité

En effet on a

(3) A — Bs(A-f-wi)— (B-+-m).

Si le premier membre est posilif, l'autre Test aussi : Si la différence (A + m) — (B -f- w) est positive, c'est que, par définition même (A -h/n) est plus grand que (B -h m). Ainsi toute solution de l'inégalité (i) convient à (a). La réciproque est vraie ; les inégalités (i) et (a) sont donc équivalentes.

190. Corollaire. On peut faire passer un terme dun membre da^is r autre, mais en changeant son signe.

Soit rinégalité

Retranchons B* aux deux membres, l'inégalité

est équivalente à la proposée, d'après le théorème précédent, et la propriété se trouve établie.

1 91 . Théorème Vk. On peut multiplier ou diviser y par un facteur positif y les deux membres dune inégalité.

Soit m >.o, je dis que

(i) A>B et

(a) Km > Bm

sont des inégalités équivalentes.

En effet, si Ton a A > B, il faut supposer que (A — B) est positif. Le produit m (A — B) est donc aussi positif si m est positif comme nous l'admettons.

Hais on a

m ( A — B) =: m A — mB .

19i QUINZIÈME LEÇON

Ainsi m A — m B esl positif; on a donc bien, d'après la définition même,

mA > mB.

La réciproque esl vraie et Ton reconnaît, de la même façon, que toute solution de (2) appartient à (1) ; les deux inégalités peuvent donc être substituées Tune à l'autre.

IWt. Remarque. Ce principe a de nombreuses applications dans le calcul des inégalités, on Tutilise notamment pour simplifier celles-ci en supprimant les facteurs communs aux deux membres d'une inégalilé, lorsque Ton est certain que ces facteurs sont positifs. Si Ton aperçoit, par exemple, un facteur dont la forme algébrique est celle d^un carré, ou d*une somme de carrés, on peut, purement et simplement, le supprimer. Ainsi l'inégalité

peut, d'après le tliéorème précédent, être remplacée pur rinégalité plus simple

Un applique encore ce principe quand on a besoin de chasséries dénominateurs des inégalités. Par exemple, si Ton veu! résoudre l'inégalité.

ou

ou encore

VS — QK

On pourra remplacer l'inégalité proposée par l'inégalité équivalente

QS(PS-gU)>o.

198. Théorème III. (hi peut multiplier ou dimser les deux membi^es dune inégalité par un facteur négatif à la condition de changer le sens de ^inégalité.

La démonstration de ce théorème esl tout à &it analogue à celle que nous avons exposée tout à l'heure (§ 191).

194. Théorème IV. On j9eu^ ajouter memlyre à membre deux ou plusieurs inégalités de même sens. Si Ton a :

A >B A'>B' je dis que Ton a aussi :

En effet, (A — B) et (A' — B') sont, par hypothèse, des quantités positives .leur somme est donc aussi positive. Mais on a :

Le second membre étant positif, on a bien

Cette proposition étant vraie pour deux inégalités, se généralise évidemment ; elle peut d'ailleurs s'établir directement pour un nombre quelconque d'inégalités.

19&. Remarque, il faut observer que les deux systèmes

^'^ I A'>B' "' AH.A'>B-f.B' j ^''^

ne sont pas équivalents et ne peuvent pas, dans une discussion, être substitués Tun à l'autre. Sans doute, toute solution de (1) appartient à [i), mais la réciproque n'a pas lieu nécessairement. On peut en effet avoir

sans avoir

Il suffit que la valeur négative attribuée à (A' — B') soit, en valeur absolue, plus faible que (A — B).

C'est par une raison semblable qu'il n'est pas permis de retrancher membre à membre deux inégalités de même sens.

On peut en effet, la chose est évidente, supposer

et

sans avoir nécessairement :

i 9e. Théorème V. Lorsque deux ou plusieurs inégalités de mhne sens, ont leurs membres positifs; si on les multiplie, membre à membre^ Vinégalité obtenue peut être considérée comme une conséquence des inégalités proposées.

Soient les deux inégalités.

et

A, B, A', B' étant d'ailleurs des quantités positives. Avanl de démontrer le théorème en question nous ferons une remarque générale, remarque que nous utiliserons encore dans la suite, et que nous énoncerons ainsi : une inégalité telle que A ^ B peut toujours être remplacée par une égalité

la lettre x désignant une quantité dont le signe est explicite; savoir le signe -h si ton a A^B et le signe — , si ton suppose A < B. On a donc d'après cette observation évidente

INÉGAUTÉS 197

xeiy étant plus grands que zéro. De ces égalités on déduit :

AA' — BB' z= B'x + By H- xy.

Le second membre est essentiellement positif puisque B, B' J?, y représentent des nombres positifs. On a donc