AA' > BB
Si l'on considère maintenant plusieurs inégalités
On aura de même
A| = Bj -+- x^ A, = B, + 07,
p p * p et par suite
A, A. . . . Ap zi (B. -h or,) (B, -f. 0?.) . . . (B^ + x^) ou
A,A,...Ap~B,B....Bpr:Sar,(B, + x,)...(B^-+-Xp).
Le second membre ne renferme que des termes positifs. On a donc bien :
199. Théorème WW. Si l'on a, entre deux quantités positives, une inégalité ; on peut lui stcbslituer r inégalité obtenue en élevant les deux membres à une puissance quelconque^ et positive.
Ceci revient à reconnaître que Tinégalilé (i)A>Bdans laquelle A et B sont des quantités positives, est équivalente à l'inégalité
p étant un nombre entier et positif.
Remarquons d*abord que le théorème précédent, appliqué au cas particulier où Ton suppose,
et
donne bien
A, — A, — ... Ap — A
B. = B,zz... Bp-B
A''>BP.
Mais il faut encore démontrer que : réciproquement toute solution de Tinégalilé (2) convient à (1). On a, en effet,
A'^ — B'^sCA- B)(A^' -hBA^V ... + B'*"')
le polynôme A'^' 4- ... 4- B**"' est constitué par des termes
tous positifs : par conséquent si A**— B'' est positif, A— B Test aussi, nécessairement.
Remarque. Si les quantités A, B sont toutes deux négatives on peut encore élever les deux membres de rinégalité à une puissance p quelconque y mais il faut changer le sens de l inégalité, dans le cas où p est pair.
Soit l'inégalité
A et B étant, Tun et Tautre négatifs. Posons A=: -A', B:r - B ; on a donc
A'<B'; par suite, puisque A' et B' sont positifs,
ou
Si p est pair on peut diviser par ( — if, et il reste
INÉGAUTÉS 199
Si p est impair, on peut encore diviser par ( — 4)^*, mais il faut changer le sens deTinégalité et, dans ce cas, l'on obtient rinégalité
198. ThéePème VH. Si ton a, entre des quantités positives A, B; A', B'; les deux inégalités
on a aussi
Posons
et
xeiy sont alors des quantités positive?. On a donc
ou
A B B'j-fBy A' B'"" A'B' •
Le second membre est essentiellement positif; ainsi ---
est plus i^rand que — .
199. Théorème ^111. Si entre deux quantités positives A ethmi a T inégalité :
