RÉSOLUTION DES INÉGALITÉS
ftOM . La méthode la plus générale que Ton puisse indiquer pour résoudre les inégalités rationnelles algébriques qui renferment une variable x, consiste à faire passer tous les termes de Tinégalitè proposée dans un des deux membres. On donne à celui-ci la forme entière, chose toujours possible, et Ton est ainsi ramené à discuter Tinégalilé
r(x)>o, f (x) désignant une fonction entière de a?. On décompose
alors celle-ci en facteurs bluùmes de- la forme {x-^a) ou en bcteurs de degré supérieur mais dont le signe soit connu. Le signe de f(x) est alors bien déterminé, pour une valeur donnée de X.
Prenons, pour montrer une application de cette méthode, l'exemple suivant :
Écrivons d'abord cette inégalité sous la forme
ou
ou encore
(^• — 4) (ic* + 3a:* — aa; + 2) > o.
Ici se présente une difficulté qui porte sur la détermination du signe de la fonction
(c^-h'ix* — aa? -j- 2.
En effet, on ne sait pas, en général, décomposer en facteurs binômes les polynômes dont le degré est supérieur à 2.
Mais cette décomposition n'est pas toujours nécessaire pour résoudre Tinégalité. 11 suffit évidemment, pour la discussion qui nous occupe, que Ton soit fixé sur le signe du facteur. Cest ainsi que, dans l'exemple proposé, ayant observé que Ton a
on peut affirmer que cette fonction est constamment positive. Dès lors rinégalité donnée revient à celle-ci,
inégalité qui est vérifiée pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas comprises dans l'intervalle — (2 -+- 2).
9Wê. Wné§;BUtéH qaMdratlqaei?. Nous appelons ainsi les inégalités qui ramenées à la forme f{x) > o, sont telles que la fonction entière /'(or), puisse êlre décomposée en facteurs du premier, ou du second degré, au plus.
i » Soit d'abord l'inégalité
(i) ax + b>a'x + f/ ou
dans laquelle on suppose, bien entendu, a — a';zf o. On peut donc écrire Tinégalité (1), sous la forme
Si Ton suppose a — «' > o, les valeurs de x qu'il faut choisir sont celles qui sont supérieures à ; si Ton a
a — a' <o on doit prendre, au contraire, les valeurs àex infé-
neuresa -.
2« Proposons-nous maintenant de résoudre Tinégalilé
aa.* -f- bx-\'C> a'x* + ô';r-f- c'
ou
Si (a— a*) est nul on retombe dans le cas précédent. Supposons donc (^ — ^') 7^ o et distinguons Irois cas, suivant que la quantité U
est positive, nulle ou négative.
Premier cas, (U > o). On a
Vs(a — fl')(a: ' x'){x-^x'')
x' et af étant les raines de Téquation V =z o. Si Ton a (a — a') > o les valeurs cherchées pour x sont celles qui ne sont pas comprises entre les limites a?', a/'. La conclusion est inverse si l'on suppose a — «' < o.
Deuxième cas. (U = o). Dans ce cas on a
Le second facteur est toujours positif, sauf pour la valeur
ô — A' X zz —, -. Si l'on a a — a' > o, Tinégalité est vérifiée pour
toutes les valeurs de ar, excepté pour x — —. — ; si, au con-
traire, on suppose a- a'<o, il n'y a aucune solution à l'inégalité proposée.
Troisième cas. U<o. Nous avons vu que, dans cette hypothèse, le trinôme V conservait toujours le signe de son premier terme; si (a — a') est positif, l'inégalité est absolue; si {a — a') est négatif aucun nombre ne peut la résoudre; Tinégalité est impossible.
S"" Considérons maintenant l'inégalité
ax-^b xx+iJ a'x + b'^7^^:i^''
Elle peut s'écrire, en utilisant la transformation indiquée plus haut>
(a'x + //) {x'x + ?) {Ax* + Rr -+- C) > « ;
en posant
Az:
Bit
La discussion est ainsi ramenée à celle du trinôme Ax* Bâ?+C; et Ton vient de voir comment cette discussion peut être fiiite.
Remarque. Nous avons supposé
et aussi
Si Tune ou l'autre de ces expressions était nulle, Tune des fractions proposées serait constante et Tinégalilé proposée s'écrirait
ax-{- b ^
ou encore
Sous cette forme, sa discussion n'offre aucune difficulté. 4'' Considérons enfin Tinégalité
ax* + bX"\-c a'
a'x* + b*X'\-& Elle peut s'écrire sous la forme
Le pi*emier membre est un produit de deux facteurs trinômes du second degré, et Ton peut résoudre cette inégalité en suivant la marche indiquée plus haut.
Remarque. En dehors des cas que nous venons d'examiner le problème qui vient de nous occuper, ne peut pas en général être résolu^ du moins par les méthodes élémentaires, les inégalités cessant d'être quadratiques. Ce n'est plus que dans des cas particuliers que Ton peut opérer leur discussion.
903. Inég^aliiés irrationnelles. Les inégalités renfermant des radicaux présentent une difficulté particulière qui tient à la discussion du signe des fonctions soumises à ces radicaux.
Nous indiquerons rapidement, sur un exemple simple, tel que celui que fournit l'inégalité
la marche qu'il faut suivre dans ces discussions.
Nous supposons explicitement que le radical est pris avec le signe +» pour que Finégalité soit bien déterminée.
La variation de x ne peut évidemment avoir lieu qu'entre —- <x> et 1, ou entre a et -f-». D'ailleurs l'inégalité a lieu, visiblement^ pour toutes les valeurs de x qui n'étant pas comprises entre i et a, sont inférieures à 3.
On a donc déjà, pour les valeurs cherchées de Xy toutes' celles de l'intervalle ( — », -4- 1 ) ; et aussi celles de l'intervalle % 3).
Supposons maintenant que x soit plus grand que 3. Les deux membres étant positifs on peut les élever au carré et chercher les nombres qui satisfont à Tinégalité :
of — 3a? -+- 2 > a;' — 6a; -|- 9
Celle-ci est vérifiée par tous les nombres supérieurs à 3. En résumé les solutions cherchées sont celles qui sont comprises entre — <» et -4- 1 et entre + 2 et -H ».
I. Démontre^' que « ai, aj,.. .ap; sont des nombres différents, positifs et inférieurs à Vunité, on a toujours
206 UUlNZlÉ^fE LEÇON
Ou établit d*abord ndeiitMô
' puis Ton remarque que l'ou a, quel que soit a,
ia{i — a)^i.
1t. Démont t'er fjue si ai, «3. . .a., sami des nombf*es qui ne sont pas tous égaïuc on a
(a,-htf,. .4-ap)*</>(aî-héi^-+-...-ha^).
Pour résoudre cette quesliou ou pourra 80 servir de riuégaiitc absolue
3. Démontrer j avec la même hypotlièse sur les 7iomôf*es »i|, o^. . .a^, finef/aiité absolue
Ou cousidèru les inégalités
X* -f- ai -h ai — it'tf , - jL'a^ — a^a^ > o
X' -f- rtp -^ «î - ^^Ip — «^t'^i — ilpO'x > «• 4. Démontrer que Von a Vinèy alité absolue
px* — 2a (a, f a, -f- ... 4- «p— y) + tf î 4- . . . a,^ — 2/» (a, -4- a,
-f-... +«p)-l-jo'>o.
Ou peut, par uu groupement convenable, ramener le premier memlire à la forme
On peut aussi suivre la méthode générale. On considère le trinôme du second degré en a
Aa* + Ba-I-C,
et Ton montre que Ion a ici
B'-4AC<o; on trouve, en effet, l'Inégalité de Texeroice (2).
