V. Résoudre l'inégalité
8. Démontrer que si a, b, o,. . .k, 1, représentent des quantités qui ne sont pas toutes égales, et qui sont supposées en nombre p, on a ;
(Cauchy.) r Le théorème est vrai pour/>=:j; il résulte de Tideutité
, ;a'-f-6\" /a — bV ab
j* La propriété 8*éteud à 4 nombres car
4.-7—: 4/"'^T Fî V^a&-hv'^crf 2 2 yjabcdzs. V V aô • V crf < î^ ^^^ — <
OU
3* On généralise la remarque précédente pour 8, i6, . . . i2^ nombres.
4* Pour établir le théorème général 11 suffira, d'après ce qui précède, de vérifier que s'il est vrai pour {p-{-i) nombres, il est vrai pour p.
Cette méthode inverse de celle qui est ordinairement suivie pour la généralisation d'une propriété, est remarquable : elle a été employée par Cauchy pour établir le théorème qui nous occupe.
On a par hypothèse
^ p+iy •
Le Uiéorèuie étant vrai pour (/}+i) quantités, ou peut écrire
y a.b,,.k}/ab...k<—^—-^ ^^-^
Hemnrtfue, Lu rarine, d'iudire p, du produit de p nombres», s'appelle quplqoefois moyenue géométrique : le théorème du Cauchy peut, en adoptant cette expression, s'énoncer ainsi : la moyeune géométrique est toujours inférieure â la moyenne arithmétique.
•. Démontrer que la moyenne harmonique est toujours plus gratuie que la moyenne géométrique,
(Oo appelle moyenne harmonique, un uombre égal â p fois l'iuversu de la somme des inverses des nombres donnés.) L'iuégalité
\ a,b,.,kA>
que l'un propoge «If, «léiuoulrcr, est la conséqueucc iiiiiuédiate du Uiéorémc |>ré««(leDt. On a, en cfTet, d°upn>s ce théurèuie,
l#. Démontrer que l'on û, a étant différent de h
(a -h oy
(i) a*+6"*>^— ft, plus généralement,
\^ étant un nomitre entier positi/.) Étendre ce théorème à des quantités positives a, li, e,. . . k, 1, en nombre p. i* L'inégalité (i) revient à celle-ci, qui est évidente
(a: -h y) (x — yy > o J' L'inégalité ( j), eu posant
se transforme et devient Tinégalité évidente
0 < cl2*a/^^-h CfcX*x'^* -h . . .
3^ Pour généraliser la propriété et l'étendre à p quantités positives, ou suit la marche indiquée dans Texercice précédent.
On remarque d'abord que le tliéorème est vrai pour quatre nombres Of b, c, d^ car
mais ou a vu que
on a donc
Ainsi le théorème est vrai pour j,4'^»'^-" quantités positives. Eufin on montre que si le théorème est vrai pour (p-hO quantités a,b,...k,l,m; il est vrai aussi pour \q9 p quantités a, b,.».k, L
On remarque à cet effet que :
P-^^r . r IN , 1. I .1 «-4-64-...-+-/
on a donc
( . , a-hb-\-..-\-l\^ A- Je / «4-6-4-.. 4a-f-6-h..-h/H ^\ aV..-^^+ --!^--:î::X P 1^ \ P
ff . Soient p nombres en progression arithmétique^ a, b... if, \j démontrer que Von a
jo Ç^n . ^ . . . / > y/àl.
Pour la première propriété on peut appliquer le théorème de Cauchy, et la formule connue,
a-hb + .,. + lzz^(a + ll
Pour l'autre propriété, on appelle r la raison de la progression, et on forme le tableau sulTant :
alliai
akzz{a-h r) (/ — r) m a/ -h (p — 2) r*
ch — (a-4-2r)(f — 2r):=:a/-f-2 (p — 3)r*
On a, par suite,
lazzal kb>al hc>al
• ■ • • alzzal
d*où
{abc...krf>(alf
Application^ On a, p étant entier et positif,
(Todhunter.)
SEIZIÈME LËÇUN
90A. Définitions, liuagiûons des nombres l^p»Up|,U^.^
etc. . . se déduisant les uns des autres au moyen de la relation de récurrence
Celte égalité, dans laquelle les coefficients a^ et b^ peuvent
être supposés fixes, ou, r!ans d'autres cas, variables avec />, permet de calculer U, conuaissant U, ; puis U3 connaissant U,. etc — On peut écrire Texpression de U^ sous la forme
On a donc
et, finalement,
Ces formes algébriques représentent, dans Tacception la plus générale du mot, les fractions continues.
On considère plus ordinairement, et nous nous occuperons exclusivement, de fractions continues d'un genre particulier.
FRACTIONS CONTINTES 21 .1
de ceUes qui correspondent aux hypothèses suivantes : lo tous les coefficients &,, b^. , , b sont égaux à + 1
2* tous les coefficients a,, «, . . . a^, et le terme initial T,, représentent des nombres positifs et entiers.
MI&. IMi^ne des f mêlions eontinaes. Nous ferons remarquer d'abord comment ces fractions continues particulières s'introduisent, par une voie naturelle, dans l'analyse. Imaginons une quantité quelconque Xy commensurable ou non; cette quantité est nécessairement comprise entre deux nombres entiers consécutifs «, el a, 4- 1. On peut donc poser
X étant supposé plus grand que lunité. L'égalité (1) donne
La quantité est, elle aussi, comprise entre deux nom-
bres entiers consécutifs «,, o^-\- \\ a^ étant au moins égal à Tunité. On peut donc écrirez
j7, zz n^ H ,
avec la condition a?, > I .
En continuant ce raisonnement on a, pour déterminer a\ la formule
C'est une fraction continue, dans le sens restreint et ordinaire du mot ; «,, a„ «3 ... sont des nombres entiers, positifs; a, seul, peut être nul.
Dans rétude que nous allons faire des fractions continues nous considérerons d'abord le cas où /i, /ïj . . . a^, sont en
nombre fini. Ces quantités sont appelées les éléments de la fraction continue ; on les nomme aussi quotients incomplets. Pour abréger l'écriture, nous représenterons quelquefois par la notation symbolique
la fraction continue dont les éléments sont : a,, a, ... a„.
IMM. Théorème I. Toute fraction continue limitée est un nombre commensurable.
Soit
On
par
suite,
Faisons passer le terme a, dans le membre de gauche, il vient
X — ff^ i
tt
En poursuivant cette manière de faire, le premier membre est toujours le quotient de deux formes linéaires de x. On a donc, finalement,
xr + 6 __
On tire de cette égalité
xn
valeur qui n'est ni nulle, ni infinie, puisque x est compris entre a, et a. H- 1
MI9. Remarque. Le calcul de x, et la démonstration du théorème précédent, peuvent encore se faire en remarquant que Ton a
puis
clc... On arrive ainsi, de proche en proche, à la valeur de x qui est, d'après cela, le quotient de deux nombres entiers.
190S. Théorème II« Réciproquement, tout nombre com^ mensurable peut être écrit sous ta forme (Tune fraction continue limitée.
Soit ~ le nombre proposé ; a ei b désignant des nombres
entiers, premiers entre eux. Nous supposerons d'à bord que a est plus grand que b. En cherchant le p. g. c. d. de a et de b, on obtient les égalités suivantes :
azzbq^-h r, b-r,q,-hr.
Le dernier reste r„ élant d'ailleurs égala l'unité. De ces égalités on déduit
l'-'-i'+ib
fè)
On a donc
it-l
Remarque. Lorsque - est une fraction proprement dho,
on développe - en fraction continue.
