I.a méthode précédente, donne
el, par suilo,
)909. Théorème lU. le développement (Tun nombre commensurable en fraction continue n'est possible que (Tune seule façon.
Soit X le nombre proposé. Ce nombre, développé en fraction continue par le procédé indiqué tout à l'heure, a donné le résultat suivant
(i) x= I a^y rtj, flTj, ... a^ I
Supposons que, par une autre méthode, il soit possible de
FRACTIONS CONTlNL'Ë8
trouver pour x un second développement en fraction continue, tel que
Nous allons montrer que ces deux développements sont identiques. L'égalité (i) prouve que x, est compris entre les deux nombres entiers consécutifs a, , a, -+- 1 : Tégalité (2) prouve à son tour que x est compris entre les deux nombres entiers consécutifs a«, 2, -|- 1. En rapprochant ces deux conclusions
on voit que a j ira,.
Cette première remarque étant faite, nous pouvons écrire les égalités (t) et (2) de la manière suivante :
a,, fit, ... fi
OL^y 2). ... 2
En raisonnant, comme nous venons de le faire, on déduit de là que a, zz a,. On voit ainsi, de proche en proche, que les «Héments a sont, deux à deux, égaux aux éléments a.
^^O, Réduites, ou fm^lloiift convergente». Lesp premiers éléments d'une fraction continue, constituent une fraction continue. Le calcul de cette fraction donne lieu à une expression fractionnaire dont nous désignerons le numérateur par X^ et le dénominateur par Y^. Nous poserons donc
(It , ^«9 "^^ . . (l .
et nous dirons que ^ est la réduite tf ordre p
p On a, d'après cela
rt,«j 4- •
et, par suite,
(i) Xt=:a^ X, = a,a,-|-i Xs— «,«,«, -+- a, + ats etc.. (2) Y, rz 1 Yj = a, Y, iz: a^a^ -h 1 etc. . .
911. Théorème iV. 7roî5 fondions X e^ Y consécutives satisfont aux relations de récw^ence
Les égalités (1) et (2) prouvent que cette loi se vérifie pour les trois premières fonctions x et y. On a, en effet
Xj "Z. Oi X, -f- X,
et
Yj zrûfsYj f- Y,.
Supposons donc que la loi énoncée soit vérifiée pour les fonctions X et Y jusqu'à celles que nous désignons par X,
et Y^, , inclusivement ; admettons, en d'autres termes, que
Ton ait
' jv-l ^p-l ' /)-2 "^ ' ;i-3
Pour obtenir —, il suffit de remplacer,.dans cette expression,
rélément «p ppara^, 4- — . On a donc
Yp
Celle égalité peut s'écrire
\^^P ^«p-Âr-2 -^ V^Ty^,
Mais on a, par hypothèse et
l'égalité (i) devient alors
On a donc, conformément à la définition des fonctions X elY,
et
Yp = a,Y,^,4-Xp,.
La loi de récurrence des fonctions X et Y est donc dénion- Irée.
9Mft. Remarque. Les nombres X et Y^ augmentent sans
cesse, et croissent au delà de toute limite, en même temps que p . On a en effet
et
Yp ^ *p i + ^p-i'
La remarque en question est la conséquence manifeste de ces inégalités.
^18. Théorème "V. Les termes de deux réduites consécutives
satisfont, quel que soit p, à l'égalité
220 SFJZIKME LKQON
Cette propriété se vérifie facilement pour les deux premières réduites. En effet les égalités
X, zr.a^ X, — fl,a, -h i Y, ir i Y, = «,.
donnent bien .
Supposons donc que la loi ait été reconnue exa cte pour toutes
les réduites, jusqu'à -p^, inclusivement. Les relations
donnent, par combinaison, Mais on a, par hypothèse,
On obtient donc, flnalement, la relation
. I^ loi est donc générale.
914. Théorème VI. Les réduites sont des fractions m*^ duclibles.
L'égalité que nous venons d'établir
Vp-. - ^';. V. = ( - ')'
prouve, en effet, que X et Y. qui sont des nombres entiers, ne peuvent admettre un diviseur commun^ sans que ce nombre soit un diviseur de (— \f' Ainsi X^ et Y^ n'ont d'autre diviseur commun que Tunité; ces deux nombres sont donc premiers entre eux.
5Sfl&. Théorème VU. Ufie fracUon conlintie a une valeur qui est toujours comprise entre celles de deux réduites consécutives : elle est plus grande que la réduite d'indice impair, et plus petite que la réduite d'indice pair.
On a, comme nous venons dç le montrer
Vp apYp., -h \^:
Posons
a^ étant le dernier élément de la fraction couliuue proposée f.
La valeur de /se déduit de la formule (t) en remplaçant, dans celle-ci, a^ par X. On a donc
On tire de là
et.
^p-i ^p i l^»Vp, h Vp^ij
Soitinaintenant
u-A-Jtii et y-f-^h=^^
<Jn a, par application du théorème V, les deux égalités
ri— -I
