V. (ÂYp,+ V

et si l'on suppose que p soîl pair on a U > o, et V < o ; le théorème en question est donc démontré.

X 191 O* Théoréine WWÊË. La réduite ^ est plus voisine de

la fraction continua f, que la réduite précédente — ^^.

Xp-t

Les égalités (A) donnent

V"" XY^,- On sait d'ailleurs que X est plus grand que i, et que Yp, est supérieur à Y^^j: pour ce double motif, — est une fraction

proprement dite. On peut donc dire que le nombre (f— ~^ 1 est, en valeur absolue, plus faible que (/"— y^)*

Cette propriété remarquable des réduites leur a fait donner le nom de fractions convergentes ; et Ton veut exprimer, parce mot, que les réduites se rapprochent, sans cesse, de la valeur de /*, quand leur indice augmente.

SI K. Reinarqae. Il résulte de ce qui précède que la suite

est formée de nombres toujours croissants : et qu'au contraire les nombres

(.2\ Ùl ±ï 1 , 1 4

sont décroissants. De plus un nombre quelconque de (i) esl inférieur au plus petit nombre de la suile (a).

\. Théorème UL II n'existe aucun nombre comment

surable qui s'approche plus de f, qu'une réduite —^ et qui

p s'exprime par des nombres plus simples que X et Y .

Considérons les trois nombres

Noas supposons que p soit pair, pour fixer les idées ; les trois nombres (i) sont, dans cette hypothèse, rangés par ordre de grandeur croissante.

Soit- le nombre proposé, nombre qui est supposé plus voisin

de /"que -^. Il est alors nécessaire que -fasse partie des nom-

p bres qui sont compris dans Fun ou Tautre des deux intervalles

Dans Tun et Tautre cas, on peut dire que les trois nombres

■ (fe^) = (^'TJ

sont rangés par ordre de grandeur croissante; on a donc

On peut remarquer, d'ailleurs, que Ton a X^Y^^^— Y^X^jn: i ; par suite,

5>Y^(aY^^,-eX^,)>«.

11 résulte d'abord de là queaY^^, — ôXp.p est un nombre entier et positif; il est donc au moins égal à i.

Ainsi, on a bien

Im même raisonnement appliqué aux fractions

\ 6 Vi

prouverait que Ton a aussi

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