DêfiniÉlon. Soil lafraclion continue x
(i) a;zr I rt^, a^, a^, ... a^|.
Supposons que le nombre n des éléments croisse au delà de toute limite et considérons les deux suites (A) et (B),
/»\ '^1 ^ '21 lA) ^., y; y/-
formées; la première suite, avec les réduites d'indice impair ; l'autre, avec celles d'indice pair. La suite (A) comprend des
nombres toujours croissants mais tous inférieurs à -^
-r ; ces
nombres ont donc une limite; soit 0 celle limite. D'autre part, la suite (B) est constituée par des nombres toujours décrois-
sants, mais qui sont tous supérieurs à — ^; ces nombres ont
aussi une limite 0'. II est facile de reconnaître que Ton a
^~6'. En effet, soill/ un nombre de la suite (A);li±i est
alors le nombre correspondant de la suite (B) : on a d'ailleurs,
Les nombres Y^, et Y ^ croissent au delà de toute limite ;
par suite ^-y — tend vers zéro, quand p croit au delà de toute
limite. Les deux limites 0 et 0' sont donc égales.
1^90. Fractions conÉinues périodiques. Lorsque dans une fraction continue illimitée, fraction dont la valeur est maintenant bien définie, on suppose que les éléments se reproduisent dans un ordre constant, on dit que cette fraction continue est périodique. On distingue deux sortes de fractions continues périodiques : i® La fraction péiHodiqv£ simple
xz=.\ a„ a„ ... a^\ a„ a, ... a^\a^ya^ ... a^\ ... |
qui est telle que lesp premiers éléments se reproduisent dans le même ordre it,^ La fraction périodique mixte
X ^^ Xif x% »'• iX/i> aif fl?, ... a^j a^f (Z| ... éz^^ ...
dans laquelle la partie périodique est précédée d'éléments ne faisant pas partie de la période.
1991. Théorème de Las^rang^e. La racine dune équation du second degrés à coefficients commensurables^ peut se développer en fraction continua péi'iodique.
1®"* Cas. — Les deux racines sont de signes contraires. Nous distinguerons plusieurs cas^ dans la démonstration de cette propriété. Nous supposerons d'abord que les racines de Téquaticn proposée ont des signes contraires, et que les dénominateurs, s*il en existe, ont été chassés.
L^équation que nous allons examiner peut alors s'écrire
(P) \x* + 'iBx — C rr 0 ;
en supposant: i<> que A, B, C sont des nombres entiers ; a^^que A et C désignent des nombres positifs. Si le coefficient n*était pas un nombre pair, on changerait x en aX, et Ton considérerait l'équation en X. 11 va sans dire que (B*-|-AC) n'est pas un carré parfait ; car, si (B*+AC) était un carré parfait Téquation donnée aurait ses racines commensurablcs,
el nous savons que ces nombres se développent en fraction continue limitée.
Développement de la racine positive. Ces conditions diverses étant supposées remplies par les coefficients de réquation(P) nous allons développer en fraction continue sa racine positive X.
(0 ,--b+n/b' + ag.
Ce nombre x est compris entre deux nombres entiers consécutifs a,, a, -[- 1 . Nous pouvons donc poser
ensupposant j;t> 1. L'équation (P), d'après cette formule, devient
OU
après avoir posé
l A, = G — iBa, ~ Aa,' (3) j B,i::-Aa,-^B ( C-A
L'équation (P,) donne lieu aux remarques suivantes: 1* Les coefficients Ai, B„ C, sont des nombres entiers. î" Les nombres ki et C^ sont positifs, y On a.
(a) Br + A,C,zzB*-hAC.
F^es formules (3) prouvent immédiatement que A,, B^, C|, sont des nombres entiers et que C, est positif. Il reste à montrer que A, est positif et que Tégalité (a) est exacte.
Je dis d'abord que Ton a A, > o. En effet la racine positive de l'équation (P), étant comprise entre a, et (a, -hO, elle est aussi comprise entre a* et -f * • ^^^ déduit de là que .le premiermembre de (P), prend une valeur négative, pour X z: 2^. On a donc bien
Aaf + îBa, —C <o
ou
Passons au second point. Les formules (3) donnent B* + A,(:, - (B -h Aa,)' -h A (C - ^Ba, — Aaf) ou, après réduction,
