BI + A,C, -B* + AC
Le théorème de Lagrange résulte, comme on va le voir, des remarques précédentes.
DeTéquatiou en ojj, on peut déduire une équation eu a:«, comme nous avons déduit Téquation P,, de Téquation P. On obtient ainsi, par une sorte de voie récurrente, une suite d'équations donnant lieu au tableau suivant:
(P) Ax* -h ittix —C zz o
On a, d'ailleurs, les conditions suivantes :
et,
( V -^- 'V.C„ = ir 4- AC.
On tire, de ces deux dernières égalités, la relation
FRACTIONS GONTfNtJES ILLIMITÉES 219
en désignant par h le nombre entier et positif (B*-f- AC). Les nombres positifs A„. A„p B„; qui peuvent satisfaire à (4), sont
nécessairement en nombre fini; les combinaisons que Ton peut feire avec ces nombres en les écrivant dans l'ordre
sont elles-mêmes en nomhi^e fini. Il est donc certain qu'en formant le tableau (II), on trouvera, à un certain moment, une équation (P.), qui sera identique à une équation (P^),
précédemment écrite.
Lorsque ce résultat inévitable aura été atteint, les calculs se reproduiront identiquement dans Tordre où ils auront été obtenus. On aura donc, pour a:, un développement en fraction continue périodique.
Développement de la raciîie négative. Changeons a? en — a-, dans réqualion proposée; celle-ci devient
En développant, en fraction continue, et comme nous venons de l'expliquer, la racine positive de cette équation, la valeur trouvée, changée de signe, représente le développement de la racine négative.
2"»V/«w. — Les deux racines sont positives. Soit a la plus grande de ces deux racines. Elle est comprise entre deux nombres entiers consécutifs «, a + \. Nous supposerons
d'abord que la seconde rncine g n'est pas comprise dans cet intervalle. En posantar=za-|-X, Téqualion en X aura deux racines réelles X' et X", et l'on calculera les racines a et g par les formules
X' est donc, d'après cela, une quantité positive et plus petite queTunité: X' est, au contraire, une quantité négative. On
pourra donc développer X' elX' en fractions continues, par la méthode indiquée au paragraphe précédent.
Dans le cas où les deux racines a et 6 sont comprises entre les deux nombres entiers consécutif a, a+ lyles nombres X' et X" sont, Tun et l'autre, positifs, et plus petits que l'unité. On pose alors
L'équation en y di deux racines positives, et plus grandes que Puni té. Si la plus grande racine de cette équation est comprise entre deux nombres entiers consécutifs ô, ô -f i ; Taulre racine étant inférieure à b, on retombe sur le cas que nous venons d'examiner. Sinon on pose
et ainsi de suite. Il arrive certainement un moment où Ton obtient une équation dans laquelle la plus grande racine est comprise entre deux nombres entiers consécutifs, l'autre n'étant pas renfermée dans cet intervalle. Ceci résulte de ce fait, que la différence entre les racines a et 3? est une quantité finie; tandis que la dififérence entre deux réduites consécutives tend vers zéro, quand le nombre des éléments croît au delà de toute limite. Il n'est donc pas possible que les deux racines a et g, qui se développent en fractions continues, d'après les formules
x — a-h-y y zzô-f--,... ;
aient, indéfiniment, les mêmes éléments.
^^ Cas, — Les deux racines sont négatives. On ramène immédiatement ce cas, au précédent, en changeant x en (— x).
itftlt. Appllcationfi. Les racines d'une équation du second
degré étant delà forme a 4\^5^a et 6 désignant des nombres
commensurables, le théorème de Lagrange prouve que ces quantités irrationnelles sont susceptibles d'être développées en fractions continues périodiques. Nous nous proposons de vérifier cette propriété sur quelques exemples simples.
i''^ Exemple. — Développer y/a* + i en fraction continue, a désignant un nombre entier et positif.
Soit
X est compris entre a ol (a + i). Posons
On a donc
d'où
yn"* -\- t—a
=ia-h y/a* + « .
D'après cette formulo la valeur de .r, est comprise enlre 2a ("ii'ia-h 1). Soit
OU
a + y/rt* -h I r: 2rt H — .
On a donc
x,zz
y/a* + 1 — a ou
•>C M MB» •A' I •
La périodicité du développement se trouve ainsi vérifiée ; et Ton a
En supposant, successivement dans cette formule: a =z i, a rr 2, r/ — 3 ; on trouve
v/2 zz I 1,2,2, ... I
y 5 ZZ I ^ > M -#>••• I
\/iû zz I 3, 6,(), ... I
1^ Exemple,— Développer \^Q^ -h "^^ en fraction continue ^ a désignant un nombre entier et positif.
Soit
X zz \/a* -[- 2rtf
a? est compris entre « et ^/ 4- 1. Posons
xz:za-\-^.
On a
on pose alors
on trouve
Ce nombre a*, est compris entre 2a et (ar/ -h i). Posons donc
on trouve 0*3 — ,r,. On a ainsi
X — yV-f- 2a — I a ; I, 26r; 1, 2^ ; ... |.
FRACTIONS CONTINUES ÎLUMITÉES 233
Par exemple
v/îTrz 1 1; 1,2; 1,2; ... |-
ftf^B, Tliéoréine. Lorsqu'une quantité est développée en fraction continue péi'ïodique, elle peut être considéi^ée comme
une quantité iiTationnelle de la forme a + Vô. Ce théorème est le réciproque de celui de Lagran«<e. Soit une fraction continue périodique.
(1) ir=: |3c,, a, . . a^^; a,, a^, » «pî ^i> «1» ••• «p'» ••• | Posons
(a) y-|«„^„...ap a,,a^,.,.a^ ... |
on a donc
z désignant une fraction continue dont les éléments sont les nombres a,, a,, .,. ttpSe reproduisant sans cesse, dans le
même ordre. Or, nous avons montré, au début de cette leçon, qu'une pareille quantité avait une valeur unique, bien déterroinée. Cette valeur étant désignée par y y on a donc
En effectuant le calcul indiqué dans le second nombre,
celui-ci prend la forme / „, . On conclut de là régalité
23 V DIX-SEPTïftME LEÇON
On a d'autre pnrt
Le second membre peut se mettre sous la forme jq-
on a donc
Les égalités (3) et (4) donnent pour déterminera; une équation du second degré. Du moins, elle n'est pas d'un degré supérieur ; je dis qu'elle n'est pas non plus d'un degré inférieur. En effet si la relation qui détermine x était
3ur -f- 3 zi 0 ;
a étant différent de zéro, on aurait, puisque j? est une valeur finie,
et le nombre x^ étant commensurable, serait développable en fraction continue limitée. Ceci est en contradiction: d'une part avec riiypollièse, et, d'aulre part, avec la propriélé démontrée plus haut (g 209).
59941. Développement des transcendante» en ffraetions «continues. Ce développement repose sur la propriété suivante :
Théorème. Soit une quantilé incommensurable X dont la valeur est comprise entre deux nombres commensurables A et B ; si A etB développés en fractions continues admettent lex nombres a^, a„ . -x^tPOur leurs h premiers éléments^ on peut
affirmer que ces nombres sont aussi les h premiei's éléments de X développé en fraction continue.
On peut d'abord remarquer que tout nombre commensurable, ou non, étant nécessairement compris entre deux
FRACrrONS CONTINUES ILLIMITÉES 23S
nombres entiers consécutifs, toute quantité est susceptible (1 être développée en fraction continue. Ceci prouve la possibilité du développement de a; en fraction continue. Ce développement est unique {$ 209), et nous voulons démontrer qu'il a, pour premiers éléments, les nombres a,, a,, ... a,,.
En effet les égalités
A zi 1 3t,, A,, . . a/,, A, ... I
prouvent que A et B sont compris dans l'intervalle a,, a, -f- 1. Par suite X, quantité comprise entre A et B, a elle-même une valeur renfermée entre ces deux nombres entiers consécatifs ; x^ est donc le premier élément de X. On a d'ailleurs
et,
aCj, ...
I t La quantité -^ est comprise dans rinlcrvalle •- ,
r ; par suite, et d'après ces égalités,- , a une valeur
comprise entre les deux nombres entiers consécutifs a,, a, -j- 1 : 2, est donc le second élément de â?; et ainsi de suite.
1^5. Calenl de r. Prenons comme exemple le nombre transcendant :: : il est compris entre les deux quantités fractionnaires
Azi '. • et R — r .
lo* 10*
En développant A et B en fractions continues on trouve
3, 7, i5, 1, 9.92, 1, 1, 1 comme éléments communs à ces deux (léveloppemenls. On a donc
T.ZZ I 3, 7, i5, 1,292, 1, 1, 1, ... I
D*après cela on a des valeurs approcliées de ::, savoir :
