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i 7 loG ii3 33 102

Ces rapports sont célèbres parce qu'ils donnent, de la façon la plus simple {% 218), une valeur approchée de t.. Le rapport r, est attribué à Archimède ; r.^ a été donné par Rivard; et ::^, par Métm^,

ANALYSE LNDÉTER&ILNÉE.

99B. Définition. On donne le nom d'analyse indéterminée à celte partie de Talgèbre qui se propose de trouver les solutions entières d'un système d*équation, système dans lequel il y a plus d'équations que d'inconnues. On a Thabitude de rattacher l'analyse indéterminée du premier degré à deux inconnues aux applications des fractions continues; parce que le principe qui sert de base à la résolution en nombres entiers de l'équation.

ax -4- by zr c,

peut se démontrer très simplement en utilisant certaines propriétés des réduites. Il importe pourtant d'observer, et nous établirons ce point tout à l'heure, que les deux théories sont indépendantes l'une de l'autre.

Quoi qu'il en soit, le principe fondamental, auquel nous avons fait allusion tout a l'heure, est celui que nous allons, maintenint, énoncer et démontrer.

55*7. Théorème. Quand deux nombres A eî B sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux nombres x et y, entiers et de sic/nes contraires, tels que ton ait

A.r f- B//rr 1.

FRACTIONS CONTINUES ILLIMITEES

En effet, développons'-- en fraclion continue. Soit

et posons

U.y (1^, . .. fl,,__i

On peut considérer j et ^: — comme étant deux réduites

consécutives : on a donc, par une propriété connue (;^ ai.'^j:

A Y„,-BX„,:r (-.)«,

Si l'on pose

on a bien

Ax -j- By =1 I

J'et y étant des nombres entiers et de signes contraires.

AulremenL Cette propriété remarquable des nombres premiers peut aussi être établie élémenlairement, comme il suit.

Cherchons à déterminer le plus grand commun diviseur de A et de B : nous sommes ainsi conduits aux égalités

By, + Ht

H«^,:=ÏS.^.y,.-4-U,..

Le dernier reste obtenu U„ est égal à Tunité. Il résulte de t^^es égalités que tous les nombres H,, H„ etc.. sont de la

forme arithmétique Aa: -f- By : le dernier d'entre eux, 11^ est donc aussi de cette forme ; et ceci établit la proposition.

9^H. Résolntion de Féquatlon ax-hbyzzc. Nous supposerons que a^beic sont des nombres entiers et qu'il n'existe aucun nombre divisant à la fois a, b et c. Cette double condition est toujours réalisable, avec des coefficients commensurables. On peut aussi supposer que a et 6 représentent deux nombres premiers entre eux ; car si a et 6 admettaient un diviseurs, § ne divisant pas c, il n'existerait aucune solution entière de Téquation proposée.

Cette remarque faite, a et 6 étant premiers entre eux^ il existe deux nombres ueiv vérifiant Tégalité

au-hbvzzi.

On a donc

acu + bcv — c.

Eu comparant cette égalité, avec Téquation proposée

(i) ax~hby:=:c,

on voit que les nombres entiers x' — eu, y' = cv,

constituent une solution de cette équation.

Nous allons montrer maintenant qu'il existe une infinité d'autres soluUons entières de (i) et nous ferons connaître les formules qui donnent toutes ces solutions.

Soit x" y", une seconde solution entière de (i), en admettant, pour un instant, qu'il y ait pour l'équation proposée une solution autre que celle que nous avons trouvée tout à l'heure. On a donc

aju" + by" zz c

et

ax' + by' lie;

ËXEUCICES 239

par suite,

ou

Ou sait, d'ailleurs, que si une fraclion ^, — ^ est égale à une

autre fraclion irréductible y ses termes sont des équimuU

tiples de a et de b. En désignant par t un nombre entier arbitraire, on a donc

y'^f-at x^'-'X'-bt ou

) y^^^y^-at

^*^^ I x"^x'-hbt.

Mais nous avons admis qu'il y avait, à l'équation proposée, une solution autre que x\ y' ; il importe de vérifier ce point. On remarquera à cet effet que Ton a, quel que soit f,

a{x'-hbt) + b {y' — ai) zz c, puisqu on suppose

ax' + by' =r c.

il y a donc une infinité de solutions entières à Téquation proposée et il résulte de ce qui précède que les formules (A) donnent toutes ces solutions ; on y comprenant même la solution x\ y' qui correspond à Thypothèse ^= o.

i. Devehpper en fraclion continue la racine positive de l'éqiiaiion

bx* — abx — azzo

240 DIX-SEPTIÈME LEÇX)N

dans laquelle «l eth déisignent deux nombres entiers et positifs. On trouvera