Trouver une infinité de solutions entières de V équation
On remarque que celle équation peut s* éci ire
{X'{-yi){x—yi):=iz'\
on pose alors
on en déduit
X —yi -r(a — 30*-
On trouve ainsi
dans ces formules a et 6 dési^ucol des nombres entiers arbitrdires. Les formules
dans lesquelles / et 6 représentent encore deux nombres entiers arbitraires, donnent aussi une infinib; de solutious de Téquation proposée. On pourra vérifier que ces formules ne rentrent pas les unes daus les autres et que, par conséquent, ni les unes, ni les autres, ne donnent toutes les solutious cherchées.
•. Trouver une infinité de solutions entières de l'équation
Ou peut se servir, à cet effet, de l'identité
(a* + 6* + c* — db — ac- bcY = (a* ^ab - ac + bc)* + {b*—bc — ba+ acY 4-(c*- ac—bc-h ab)*,
•y. Trouver en nombres commensuraùleSj une infinité de solutions de Cfqttation
x*-hy*=z\
On verra, quand nous traiterons de la résolution de Téquation du troisième degré, que la formule renferme, entre autres éléments, un radical carré portant sur une quantité U, somme de deux nombres : l'un carré parrait, Tautre cube parfait Cette formule se prête donc plus commode- Dientau calcul lorsque U est un carré parfait.
Ou trouve une infinité de solutious de ce genre, par les formules;
xzz
t repi*é«entant un nombre commeusurable arbitraire. 8. Démontrer que l'équation
yx* — 5y* — 1 =r 0
n'admet aucune solution entière.
On remarquera d'abord que y est uécessairemcut de la forme (7 A Jt ^)-
On posera alors
5(7A+'i)'-hi=7B.
et on démontrera que B est toujours terminé par uu 3, où par un 8. 9. Résoudre le système indéterminé
ax-hb y + c zzid a'X'{-b'y-\-c'z:=zd'
On éliminera y et on obtiendra une équation à deux inconnues
Soient j; = a + ? ^ y = a' + p7 les solutions entières de celte équation. On aura pour déterminer z et ^ une équation
kt + Bz — c
qui donnera
Par suite 4;, y, z s expriment au moyen de Tindéterminée 0.
iO. Démontrer que si a désigne un nombre incommetisuraOfe, on peut trouver deux nombres commensurables m et n^ tels que Von ait
0 <?na — - 71 ^e
e étant aussi petit que l'on veut.
On imagine a développé en fraction continue et en désignant par
deux réduites consécutives on a (n étant pair)
OU
