LES FONCTIONS CONTINUES. -FONCTION ENTIÈRE

FONCTION EXPONENTIELLE.

DéflniUoiis. Une fonction de la variable indépendante X est bien déterminée dans l'intervalle a, b ; lorsque pour toute valeur de x^ prise entre a et 6, la fonction prend une valeur réelle et unique.

Une fonction f{x) est croissantey entre a et 6, lorsque pour toutes les valeurs a» et 3, de la variables, valeurs satisfaisant aux inégalités

a<oL<^<b, on a

elle est décroissante^ si Ton a au contraire

Une fonction f {x) est continue dans Fintervalle a, 6, lorsqu'on suppose qu'elle satisfait aux conditions suivantes :

i^'Elle est bien déterminée dans l'intervalle a, b ;

2<> Elle conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de la variable x comprises entre a et 6 ;

30 Si Ton appelle x, et x, deux valeurs de x prises dans Tinlervalle (j;,, x^)\ la différence f (a; J — /" (a;,), tend vers zéro> en même temps que x, — x^.

Une fonction est croissante pour x n a;^ quand elle est croissante dans l'intervalle a;' — s, a;' -f- e : on dit, de même, qu'^elle est continue pour xr=,x', quand elle est continue dans

24i DIX-HLITIÈME LEÇON

cet intervalle : e désigne ici un nombre positif, qu'on peut, d'ailleurs^ prendreaussi petit que Ton voudra.

ftSO. Théorème. Lorsqu'une fonction f (x) est continue

entre a e^ b (a < b ) ; 5i Con suppose f(a) ^ f(b) et si Von désigne

par u une quantité comprise entre f (a) et f (b), la fonction f (x)

prend la valeur u pour une valeur de x comprise entre a et b.

a I ' h Considérons les trois nombres a, — ; — ,6 ; et considérons

aussi les valeurs correspondantes de la fonction

m, r{-^). ni».

Si u est égal kf( — ; — j le tliéorème est démontré; si non,

u est compris entre f{a) ei fl ) ; ou entre f l — ^ — ) eif(à].

Soient a, et b^f a^<ib^^ les deux valeurs de x qui sont telles que u soit compris entre /"(a,) et /" (6,) ; on a

a-hb

En effet, si Ton a a^ = a. on a nécessairement ô, =r

'1 par suite 6, - «, z= — ^ — : si l'on suppose au contraire a^ —

— ; — , on a 6, =: 0 ; et Ion trouve encore 6, — a, zz .

Considérons maintenant les trois nombres a,, -^ -, b, et

les valeurs correspondantes de la fonction

Si Ton suppose wzz/'l-^-- — i), tout est démontré; si non,

on imagine, comme tout à l'heure, les deux nombres a, et 6„ a, < 6j, tels que u soit compris entre f[a^) eif{b^) ; et ainsi de suite.

On forme ainsi un tableau avec les nombres a, a, . . • a d'une part eib^b^. , . b^ d'autre part. Les premiers vont toujours en croissant^ ou du moins ne décroissent jamais; on a donc

(A) û,<âf,<a,...<ap ;

les autres vont toujours en décroissant, ou du moins ne croissent jamais et, par suite, satisfont aux inégalités

(B) ^>,^>,fti... >,V

On a d'ailleurs, comme nous Tavons reconnu,

fc.-

ft,-

fr.'

égalités

II est maintenant facile de conclure.

Les nombres (A) sont tous plus petits que 6, ils ne décroissent jamais, ils ont donc une limite a ; les nombres (B) sont toujours supérieurs à a, ils ne croissent jamais, ils ont donc, eux aussi, une limite g. D'ailleurs, quand p croit au delà de toute limite la formule (C), indique que la différence b ---a

tend vers zéro ; les deux limites que nous venons de définir sont donc égales. Nous désignerons par / cette limite com mune et nous allons montrer que Ton a

Posons, en effet,

Il résulte des explications qui précèdent, que u est compris entre f{a^ et f[h^ : on a d ailleurs

Si nous supposons que p croisse indéfiniment, heik tendent vers zéro ; par suite, la différence h — k. La quantité u a donc une valeur qui est égale à la limite commune des nombres f{a) et f{b^)) pour /> zr x : cette limite est précisément/"(/).

5^31 . Théorème. Lorsqu'une fonction t (x) est continue entre a et b, si Von a f(a) f(b) < o, V équation f{x) r= o adtnet au moins une racine ^ entre a e/ b.

Cette propriété très importante est la èonséquence évidente, et immédiate, de la proposition précédente. Il résulte, en effet, du théorème que nous venons d'établir qu'une fonction continue, dans un intervalle donné, ne peut passer d'une valeur positive à une valeur négative sans être égale à zéro, pour une valeur de la variable, convenablement choisie dans l'intervalle considéré.

ft39. Théorème. La fonction y = Ax™, A désignant une constante donnée^ et m un nombre entier, est une fonction croissante et continue, quel que soit x.

On peut d'abord remarquer que l'identité

prouve que si a désigne un nombre positif on a

(iH-a/>(i+ar'.

Ainsi y est une fonction croissante, pour toutes les valeurs dex.

On peut ajouter que cette fonction croit au delà de toute limite, en même temps que x. Cette deuxième propriété est la conséquence évidente de l'inégalité

laquelle a lieu quelle que soit la valeur entière dep, a étant positif. Cette inégalité peut être considérée comme une conséquence immédiate de la formule du binôme ; elle peut aussi s'établir directement, en vérifiant qu'elle a lieu pourp n 2, et en démontrant que si elle est supposée vraie pour p zz «, elle subsiste pour p — n + 1 . On sait comment on déduit de cette inégalité que les puissances des nombres plus grands que Tunilé, croissent au delà de toute limite, en même temps que l'exposant ; ou, au contraire, décroissent au delà de toute limite, quand on les suppose plus petits queTunité.

Montrons maintenant que y est, quel que soit Xj une fonction continue. *0n peut d'abord remarquer que y est une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs de x. On a d'ailleurs, par la formule du binôme

{X -h JiT - x'" zz AU, ou

ik^AAU;

k désignant l'accroissement de la fonction, et U un polynôme entier en x. Lorsque h tond vers zéro, U conserve une valeur finie et le produit UA tend, lui aussi, vers zéro. Ainsi l'accroissement A de la fonclion devient nul, en même temps que

l'accroissement h de la variable indépendante ; en résumé, Aa?*" est donc une fonction continue, pour toutes les valeurs de x.

S33. 'rhéoréme. La somme ^ ou le produit, de pltisienrs fonctions continues, est aussi une fonction continue.

Cette propriété résulte, sans qu'il soit nécessaire d'y insister : 1*» de la définition des fonctions continues ; a* des propriétés établies en arithmétique, sur la limite des sommes ou des produits de quantités variables.

248 DIX-HUITIËME LEÇON

On remarquera que l'énoncé que nous venons de donner ne comprend pas les autres opérations algébriques, telles que : extraction de racines et quotient^ Le théorème en question est en effet soumis, dans ce cas, à certaines restrictions. Si u est

une fonction continue entre a et ^, v^ n'est pas nécessairement

une fonction continue, dans cet intervalle, parce que v^'m n'a pas une valeur réelle, quel que soit u. Do môme si u et u sont

deux fonctions continues entre aeib^y iz, - n*e$t pas toujours

une fonction continue dans cet intervalle, parce qu'il est possible que y prenne, dans certains cas, une valeur infinie pour une valeur de x comprise entre a et b.