Théorème. La fonction entièi*e
y zz A^"' H- Ajo;'""* 4- ... 4- A^,a: -f- A„
est une fonction continue, quel que soitx.
En effet, chacun des termes de y est une fonction continue, la somme algébrique de ces termes est donc aussi, d'après le théorème précédent, une fonction continue.
S3&. Théorème. La fonction entière dont le premier
terme A^x"^ est positif , croît au delà de toute limite, en même temps que x.
On a", en effet,
ou
y^x'^'V, en posant
U = Ao + T^-+- .. 4~
Si Ton suppose que x croisse au delà de toute limite, la
LIlS fonctions 249
limite d*une somme étant égale à la somme des limites, U a une valeur variable et qui tend vers Ao. D'ailleurs la limite d'un produit est égale au produit des limites ; la variable y
est le produit des deux facteurs a:*" et U : celui-ci tend vers A^, l'autre augmente indéfiniment; par suite y croît au delà de toute limite.
)^8B. Théorème. La fonction entière y y a le signe de son dernier terme A^^, pour des valeurs suffisamment petites de la
variable.
En effet, pour xrzo,y est égale à A^; mais y est une fonction continue ; par conséquent, pour des valeurs de x suffisamment petites, elle a une valeur qui diffère de A„,, aussi
peu que Ton voudra. On peut conclure de cette remarque, en particulier, que pour ces valeurs de x, le signe de la fonction entière est le même que celui du terme A.,^.
FONCTION EXPONENTIELLE.
On appelle fonction exponentielle celle qui est définie par réquation
Dans cette égalité a désigne un nombre donné positif ^ eix une variable indépendante, pouvant prendre toutes les valeurs réelles. Nous supposerons d'abord que les valeurs de X sont commensurables.
1939. ThéoHiMne Mi £n supposant a>i, i» la fonction
exponentielle y — a*> est croissante quelque soit x; 2° elle croit au delà de toute limite, en même temps que x.
!• Soient deux vabups de la variable : x, x {-h; en désignant par ky Taccroisseinent de la fonction exponentielle on a
Azra — a zia {a — ij.
Dans cette égalité h désigne un nombre positif et commen-
250 DIX-HUÎTIÊME LEÇON
surable. Soit posé A — -, p et j désignant deux nombres
entiers, positifs ; On a
Le nombre a^ étant plus grand que i, la racine dMndice q,
de a^9 est aussi une quantité plus grande que Tunité ; on n, par suite,
l'accroissement k est donc positif.
2^ Montrons maintenant que y croit au delà de toute limite, . en même temps que x. Soit x' une valeur commensurable donnée à a? ; elle est entière, ou comprise entre deux nombres entiers consécutifs X', X'-f- 1. Lorsque x' augmente au delà de toute limite, X' croît lui-même, sans limite : les nombres
sont, d'après ce que nous venons de voir, rangés par ordre de grandeur croissante. D'ailleurs les puissances entières
a^ , a^"* ; d'un nombre a plus grand que Tunité croissent sans limite {$ 23a); il en est donc de même de la quantité intermédiaire a" .
ftSH. Théorème. — La fonction exponentielle a* tend vers Vunitéy quand x tend vers zéro.
Nous supposerons d'abord que Ton donne à x les valeurs
— - - oit* •
nombres inverses des nombres entiers successifs. Considérons les deux valeurs consécutives, ainsi obtenues
Nous avons y, > y, puisque la fonction a^ est croissante, en
même temps que a?. D'ailleurs ^Ja est une quantité bien définie, et supérieure à l'unité, quand on suppose a > i. II résulte de ceci que la suite
« est formée de nombres décroissants, et qui sont tous plus grands que l'unité. Ils ont donc une limite % ; il reste à faire voir que celte limite est Tunité. Posons en effet
(i) a^-.+A^ ou
(2) azr(.4-A/.
D'après (i), la limite de A , pourp — a© , est a — i ; si « n'est
pas égal à i, i-hA a pour limite un nombre différent de
Tunilé. Or cette conclusion est contradictoire avec l'égalité (a) puisque les puissances d'un nombre différent de l'unité ont pour limite zéro, ou l'infini, quand l'exposant croit au delà de toute limite. Ainsi on doit supposer a= i. Admettons maintenant que œ tende vers zéro, par des
valeurs commensurables quelconques. Le nombre - est tou-
jours compris entre deux nombr..*s entiers consécutifs ; on peut donc poser,
ou
p désignant un nombre entier qui croit au delà de toute limite, quand x tend vers zéro,
on a donc (§23;)
Nous venons de montrer que les nombres àf^ et a^^ avaient pour limite Tunité, quand p croissait au delà de toute limite;
le nombre intermédiaire a' y a donc aussi pour limite zéro.
939. Théorème. La fonction exponentielle est mie fonction continucy quel que soit x.
Soit
y est une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs commensurables de x, les seules que nous examinions, en ce moment. Si nous donnons à a* la valeur vC + â, on obtient, pour la fonction, un accroissement k,
Lorsque h tend vers zéro, nous venons de démontrer que le facteur «'*— i tendait vers zéro, le produit a"^ (a'' — i),a donc pour limite zéro ; ceci établit la continuité de a'.
94MI. Définition de a' y quand x est in«M»niniensumi»ie.
Soit x' une valeur incommensurable de x. Nous rappelons qu'un nombre incommensurable peut être défini de la manière suivante. Considérons les deux suites
Hi» Pi» ••• Hp >
les nombres a étant croissants, ou tout au moins ne décroissant jamais ; et les nombres ^ décroissants, ou tout au moins ne croissant jamais. On suppose que Ton a, quel que soit/?, a^ < A, g^ > B ; et, aussi, lim (a^ — '{.^ zz o, pourp iz » ; A et
B désignant d'ailleurs des nombres commensurables, fixes, bien déterminés. Dans ces conditions, les nombres a et 3 ont une limite commune, que Ton peut imaginer, et qui définit la quantité incommensurable x'.
Considérons donc les deux suites
(2) J\ a^S ... rA.
Les nombres a et 3 sont commensurables, el a esl supposé plus grand que Tunilé. Les nombres (i) vont en croissant, ou, au moins, ne décroissent jamais ; ils restent inférieurs au
nombre fixe, bien déterminé, a^. D'autre part les nombres (2) vont en décroissant ou tout au moins ne croissent jamais ; d'ailleurs ils sont tous supérieurs à la valeur bien déterminée
a*. Dans ces conditions les nombres (1) et les nombres (•>.) ont chacun une limite. D*ailleurs cette limite est la même. En effet; si Ton pose
ou
uzza'^(a^^''^^i)
la limite de ^^ — a étant zéro, le facteur a '^ '' — 1 tend aussi
vers zéro (g 238). Ainsilim uzzo ; les deux limites considérées sont égales et c'est celte limite commune, ainsi définie, qui
représente la valeur de a"^'.
il résulte de cette définition que toutes le> propriétés de la fonction exponentielle, propriétés établies en supposant Texposant commensurable, subsistent pour les valeurs incommensurables de cet exposant.
Nous ferons aussi remarquer qu'un nombre incommensurable x' peut, dans certains cas, être défini comme la limite d'une suite unique de nombres commensurables, toujours croissants, ou toujours décroissants.
Le nombre a^' est alors, par définition, la limite de la suite
254 DlX-HUlTlÈME LEÇON
formée par des nombres toujours croissants mais inférieurs 3 un nombre fixe* ou toujours décroissants, mais supérieurs à une valeur déterminée.
94L1. Théorème. Le rapport de la fonction exponentielle a^, à la variable x, croit audelà de toute limite, en même temps que X, quand on suppose a plus grand que Vunité,
Posons a = 1 + a» a étant positif, et donnons à x des valeurs croissant au delà de toute limite : nous supposerons d'abord que ces valeurs sont entières. Dans ces conditions, la formule du binôme donne Tinégalité
(1 + af > i -f- ox 4- ^-— ^\'.
On a donc
