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et quand x croit au delà de toute limite, il est visible que le second membre de cette inégalité, croit lui-même au delà de
toute limite. Ainsi le report — dépasse toute valeur assigna-
ble, quand on donne à x des valeurs entières, suffisamment grandes.
Donnons maintenant à la variable x des valeurs croissantes, et quelconques. Toute quantité, non entière, étant comprise entre deux nombres entiers consécutifs, p, p + 1 ; on peut toujours poser
On a, par suite, et pour un double motif,
ou encore
EXERaCES
oF a^'
Nous venons de montrer que les nombres —, crois-
saient au-delà de toute limite, en même temps que p ; il ré-
suite de là, et des inégalités (i), que — croit au delà de toute
limite, avec x ; quelles que soient les valeurs entières, fractionnaires ou incommensurables attribuées à x. it^it. ReprésenÉation de la fonetion exponentielle.
Si l'on pose y = a^, et si Ton imagine que a; et y soient les coordonnées d'un point, on peut représenter les variations de y par la courbe ci-dessous.
On voit que x variant de — * à -+- », y a une valeur toujours positive. En supposant a > i cette valeur tend vers zéro, quand x tend vers— ». La courbe, comme Tindique la figure, se rapproche donc indéfiniment de ox' ; et la dislance MP d'un point M de la courbe à ox\ tend vers zéro ; quand le point M s'éloigne à Tinfini. Pour a;zzoonayrzi;ona pris, sur la figure, OB m . Enfin x croissant de o, à 4- », y croit constamment de 1, à -h » ; toutes ces particularités sont exprimées par la forme donnée à la courbe ABC.
Nous avons toujours supposé, dans ce qui précède, que a
256 DlX-UUiTlÈME LEÇON
était plus grand que Tunité ; si Ton avait a < i toutes les propriétés établies subsistent, avec des modifications évidentes. Le trait ponctué de la figure correspond précisément à la représentation graphique de la courbe y z: a*, quand on suppose a < 1 .
I. Démontrer que la fonction y =. — croit quel que soit [ijau delà de toute
limite, en même temps que x.
On supposera d'abord que p est culier et Tou raisoQuera comme nous lavous fait (§:a4i)*
Ou généralise ensuite la propriété en remarquant que toute quantité est toujours comprise entre deux nombres enUers consécutifs.
• . Considérons la courbe y =za} et soient M et fi les points de cette courbe qui correspondent aux valeurs positives olj p de x; W et N' les points qui correspondent aux valeurs négatives — a, — p. Les droites MX, M'N' rencontrent taxe ox respectivement aux points U et h' ; démontrer que les points R, a, 6 forment un système superposable à celui des points H', — a — p. Déduire de cette remarque que les sous-tangentes aux points correspondants M, M' sont égales.
3. S/ Von convient d* appeler points correspondants sur la courbe y =n' ceux qui ont des abcisses égales et de sii^nes contraires, trouver deux points correspondants M et M/ tels que la corde MM' soit vue de Vorigine sous un angle droit.
Les points rlierchés sont ceux qui corrcspoudeut aux abcisses -f*'i ^^
4. Démontrer que si Von a une fojiction 9 (x), satisfaisant à la condition
on a
? (^/ = «* Ou fera remarquer, successivement, que l'on a
i'>ç(u) rz 1 ; 20 o(x) ^f— a;)=: 4- 1 ; 3^» o(ar,)o(a;,) ... ?«•=: ^ ?(^, + ^, + • • • -4-^„) ; 4« [ ? [x) ]" =: 9 {:^ix), (n entier) ;
5«[ç(x)]'^r=?(^a:); 6oç(x)= [^(of •
ÉTUDE DU NOMBRE e.
Considérons l'expression
expression dans laquelle nous allons supposer que Ton donne à m des valeurs positives, entières, et croissantes. Dans ces conditions le nombre y tend vers une limite finie et bien déterminée quand m augmente indéfiniment. Nous voulons établir d'abord ce point important.
S43. Limite db [ i -| — ] , pour /n = « . Le nombre m étant entier et positif, on a, par Li formule du binôme.
iH-w — I — jH ;
îïi 1.2m 1.2.3. m
^ ^^(m-0...(m-p+0 L^...^(ir
