rw \ml
développement que Ton peut écrire
\ ml 1 2 ! ' M
-^-^(ir-
25â DIX-NEUVIÈME LEÇON
Dans cette formule p désigne un nombre entier, positif, inférieur ou égal à m.
On peut encore écrire le développement précédent, sous la forme
1/ (p+Oî
en posant
1 m U=:iH 1 h. .--h
11,2 pi
et
Les termes de V sont, à partir du troisième, respectivement plus faibles que ceux de la progression géométrique
car, pour former les termes de cette progression, on diminue le numérateur et on augmente le dénominateur du terme correspondant de V. Si Ton remarque, en outre, que V est une suite finie, on pourra dire que V est plus petit que la quantité
ou
ETUDE DU NOMBRE e 259
En désignant par 6, une quantité comprise entre zéro et Tunilé, on a donc
et, par suite,
Dans cette identité, supposons que Ton donne à m des valeurs qui croissent indéfiniment, l'identité (A) a toigours lieu ; 6 est une fonction variable, mais ayant une valeur toujours comprise entre zéro et Tunité ; on peut donc dire que 0 a une limite 0^ comprise elle-même, entre zéro et Tunité.
D'ailleurs U a pour limite la suite finie
iH — I h...-f"
L'identité (A) prouve donc r que ( i -f- - ) a une limite, pour m = o& ; a** qu'en désignant cette limite par e, on a
e— iH 1 h. ..H h, — ■ — -,- 0^.
Dans celle égalité, 0^ désigne un nombre, variable av(ic p, mais toujours compris entre zéro et Tunité. Le nombre p est entier et positif, mais aussi grand que Ton veut, puisque la condition i> < m qui était imposée à ce nombre, dans la démonstration précédente, n*empèche pas de supposer p aussi grand que Ton voudra, le nombre t/i, qu'il ne doit pas dépasser, ayant crû indéfiniment.
Nous poserons maintenant
(i) i ir — ^^— 0, ;
et nous dirons que t^ est le terme complémentaire du développement de e. D'après tout ce qui précède, on peut donc écrire finalement
£p étant, d'après(i), une quantité qui tend vers zéro, quand p
croit indéfiniment. C'est la formule que nous nous proposions d'établir (»).
it^L^. Remarque I. L'expression I i H — I a pour limite
le nombre e, qiuindon suppose que m prend des valeurs négatives, mais dont la valeur absolue dépasse tout nombre donné.
Mêlions, dans l'expression ( 1 -h— 1 , le signe de m en évidence, et posons
Nous allons, dans cette formule, donner à m des valeurs croissant indéfiniment et nous ferons voir que y a une limite égale à e, nombre que nous avons défini tout à l'iieure.
On a, en effet
ou encore
y = (iH ^ — ) (iH ^ ,,
\ m — 1 / \ m — i ' On peut considérer y, comme un produit de deux facteurs :
1. Celle démonstratioa, duvî à feu Bellangerj nous a élé commualquéti par M. Rouché.
ÉTUDE DU NOMBRE p 2: !
le premier [\-\ — ) a pour limite le nombre ^, quand m
croît indéfiniment ; l'autre a pour limite l'unité. En résumé, la limite de y est égale à e.
S<tS. Remarque n. L'expression li-\ — j a encore pour
limite le nombre e, quand m croît indéfiniment par des valeurs non entières.
Le nombre m est toujours compris entre deux nombres entiers consécutifs p, p-h i \ ei Ton peut écrire la double inégalité
00 o+^)'<(.+ir<(..r
Établissons d'abord la première de ces inégalités. On sait
que a^ est une fonction croissante quand on suppose û> i. On a donc
On sait d'autre part que x'* est une fonction croissante avec a: : on a, par suite ,
Comparons (3) et (4) et nous avons
p + ij \ m)
Un raisonnement analogue établit la seconde inégalité. Ceci posé, lorsque m croît indéfiniment, peip+ i croissent aussi indéfiniment, par des valeurs entières. Ainsi les termes extrêmes de la double inégalité (H) ont, l'un et l'autre, pour
limitée. Le terme intermédiaire ( i H — ) a donc, lui aussi,
e pour limite.
56i DIXNEUVIÈME LEÇON
it4L3. Remarque III. La limite de V expression y^
pour a — o, est égale au nombre e.
Il suffit de changer la notation précédente, et de poser a — — ,
pour reconnaître que y a bien pour limite le nombre e.
[ X \** li^^V. Remarque IV. La limite de It -i — I , qttand m
croît indéfiniment, est égale à e*.
On peut observer qu'en posant — m — .w'croitindéfinimenl
en même temps que x. On a d'ailleurs
La quantité ( i H — ; l a pour limite e ; ainsi
De cette remarque, on peut déduire une formule donnant le développement de p"*. Cette formule est
Tf désignant le terme complémentaire, terme qui tend vers
zéro, quand p croit indéfiniment.
(a? \'" 1 + — j les calculs^ et les raison-
ÉTUDE DU NOMBRE e 263
nements, que nous avons feils pour établir la limite cle[ i+~ ] , au moyen de la formule (3), on trouve
Limdeli-f-— mH '--; + t;-'---H — r'^V
en posant
Mais nous venons de remarquer que Ton avait aussi
on a donc finalement
Il reste seulement à reconnaître que y;^ tend vers zéro, quand
p croit indéfiniment.
D'après la fommle (6) il suffit de montrer qu'en posant
y tend lui-même vers zéro. Supposons d'abord que x soit un nombre entier, alors x est un des facteurs de (p+ i) ! On a, d'après cette remarque,
yzz ; :
