I . 2 ... a? .(j: -h 1) ...(/?-+• 0 ou

par suite,

Le second membre de celte inégalité peut être considéré comme un produit de deux facteurs : le premier — a

une valeur finie ; l'autre représente la puissance d'un nombre plus petit que Tunilé, cette puissance croissant indéfiniment avec p. D'après cela, on peut conclure que y tend vers zéro, quand p croît indéfiniment.

Si X n'est pas entier, il est compris entre deux nombres entiers consécutifs et le raisonnement prouve que, dans ce cas, la propriété a encore lieu.

it^S. Théorème I. Le nombre e est compris entre 2 et 3. Il est d'abord visible que Ton a, en prenant les trois premiers termes du développement

p> I H h- ou e>a,5.

Comparons maintenant les deux quantités

et

2* 2* aP~* l 1

nous avons, évidemment,

Posons V — u :=: h^, h^ est un nombre qui varie avec p, mais qui est certainement toujours supérieur à la différence

- — :; = — , qui existe entre les deux premiers termes de « et 4 6 12

de V.

ÉTUDE DU iNOMBRE e 265

D*aulre part, on a

ou

£p lend vers zéro, h^ est toujours plus grand que — , en supposant p suffisamment grand ; on a donc

1S49. Théorème II. Le nombre e est incommensurable. Supposons, pour un instant, que Ton ait p zr - ; a, 6 désignant deux nombres entiers. On aurait donc

6 ' ■ 2 1 .2. ..6 ' 1.2 ..6(6-ht) • '" ' '^

Multiplions les deux membres de cette égalité parti et faisons passer, dans le premier membre, toutes les parties qui, par le fait de cette multiplication, deviennent des nombres entiers.

En désignant par N, l'ensemble de toutes ces parties entières nous avons

N=:— ' f"- ^ h ...4-6 le,