hi (6-f-O
En comparant ces deux égalités, abstraction faite du terme
6 ! Sp qui tend vers zéro, quand p croît indéfiniment, on voit que, dans Thypothèse que nous avons &ite, N serait plus petit
que - ; conclusion qu'on ne peut admettre puisque N est une
quantité positive. 11 n^est donc pas possible de supposer que e puisse être commensurable.
itfiO. Théorème. Le nombre e ne peut pas être racine (Tune équation du second degré à coefficients commensurables.
Soit
ax* -hbx + czzo
une équation du second degré ; a, 6, c représentant des nombres entiers dont le premier a, peut être supposé positif. Si le nombre e était racine de cette équation, on aurait donc
ae'-hbe-hc =. o ou
ae-hb-^ce"^ z=a.
Les formules (a) et (5) permettent d'écrire celte relation de la manière suivante
âr( 14--H — ^+... ' f-s )+'^ + ^ (— -^ ••
i ,2 ,,,p "^Pj
Pp désignant ce que devient le terme complémentaire v;^ quand
on suppose a? — — i .
Multiplions les deux membres de cette égalité par 1.2...^, k étant un nombre arbitraire, mais inférieur à p. Un certain nombre de termes prennent la forme entière, nous supposerons que N désigne la somme de ces termes changés de signe. Nous, avons donc
(7) « (r— --»-/T-^ — TTT-i — r+...4-*! Spl -+-^ ( ±r— -
... + A! ppl = N.
ÉTUDE DU NOMBRE e 267
Dans cette relation comme on suppose A- < p, les termes k ! e^, Gik Ip^, sont aussi petits que Ton veut^ pour des valeurs
suffisamment grandes de p. Prenons par exemple A* ! i^ ; on a
' ' ""''■" (/f-|-i)....Cp-Hi)/?-h i^'''
et, sous celte forme, on iroit que A- ! s^ lend vers zéro quand p croit indéfiniment.
Le raisonnement que nous avons fait, dans le paragraphe précédent, prouve que le coefficient de a, dans Tégalité (7), est
inférieur à 7. D'autre part on peut choisir h pair, ou k impair,
de façon que le premier terme du coefficient de c soit positif, ou négatif, en même temps que c. Supposons 0 > o, pour fixer les idées ; la suite U,
est toujours positive puisqu'elle se compose de groupes
AH-i (A--Hi)(Af-h5i)' I 1
qui sont tous positifs. De plus, cette suite est plus petite que --Î--. En effet, elle peut s'écrire
^ ~AM^ " l{k+ i)(k-h^)'' {k+i){k^v^){k+\\) 1"""^^-' Sous cette forme, on peut remarquer que toutes les parenthèses qui suivent sont positives ; on a donc U < r ;
on arrive ainsi à cette conclusion que N, nombre entier qui
n'est pas nul, parce qu'il est égal, dans le sens arithmétique du moty à une somme de deux quantités positives, satisfait k Tiné^alilé
k k-hi
Le nombre k peut d'ailleurs être pris aussi grand que Ton veut, puisqu'il est seulement assujetti à être inférieur à p, nombre entier, qui est absolument arbitraire. Or, pour des valeurs de k suffisamment grandes, l'inégalité (8) est évidemment impossible; et celte remarque démontre la proposition en question.
9&f . Indéterminées i *. L'expression! i -\ — ) , quand on
\ ni/
y fait m zz oo, devient i *. Cette forme n'a, par elle-même, aucun sens et constitue, suivant un langage adopté, nne expression indéterminée. Nous reviendrons prochainement sur les expressions indéterminées ; nous voulons seulement montrer comment l'on doit traiter celles qui appartiennent à la forme i ^.
Désignons par w, v, w trois fonctions de a?, et soit y une fonction composée de x, définie par l'égalité
Supposons maintenant que pour iczza?' on ait
y prend alors la forme i ^, Ces expressions indéterminées se ramènent à d autres expressions plus simples, de la manière suivante.
Posons
a peut être considéré comme une fonction de x qui devient nulle pourrez! a?'. On a d'ailleurs
y=L('+«rj
ÉTUDE DU NOMBRE c 209
OU
Si l'on considère la fonction i(? (w-f-ju — i) et si Ton peut reconnaître qu'elle tend vers une valeur ï, quand x tend vers a;', on aura
Lim y zz e"*.
Exemple. Soit proposé de trouver la valeur de y,
/cos j; -f- j: -h sin x* /«'k «^
\ 1 -H sin X j
pour a; =z o. On remarquera d'abord qu'en écrivant y sous la forme
__ (cosa:-ha:-4-sinx)^®^*'^ ^"" (i4-sina:r«^
on aura la valeur cherchée en déterminant successivement celle des expressions
u zr (cos J7 + X' + sin x-r**^"^ et
tj — (i -f-sinic/
Traitons d'abord la première et, conformément à la méthode indiquée, posons
cos a; + x + sinxna-hi on a
ros jr(rosx— 1 -j-jr-f-sin x)
.2^ -^vCOfgX
=[(.4-.rj
Il &ut maintenant déterminer la valeur vers laquelle tend l'expression t,
cos X — i -hx -^ sinx
tzn
smx*
270 DlX-NEUVrÈME LEÇON
pour a; m o. Or on a
sin -
X smo; cos-
quand x
tend vers zéro, la limite de i est égale à 2. Ainsi
lim M = e*.
Cherchons maintenant la limite de t^. On peut écrire t), sous
la forme
* 1 "Isinxcolgx
«r (i + sma:)
ou
\ n co.»' jc
V — (i -f-sinx) ;
pour X —
: 0, on a donc
En résumé y, qui est égal à -, a pour limite e.
Remarque. Lorsque uz= 1, comme cela a lieu dans un grand nombre de cas^ la méthode générale que nous venons d'indiquer s^applique commodément.
yi=(i+v)«';
on écrit y sous la forme
et, rona> par conséquent
On reconnaîtra, dans Tindica lion générale que nous don-
noos ici, la méthode que nous avons précisément suivie en cherchant, comme nous Tavons fait tout à l'heure, la limite
de (i 4- sin x)^*^'', pour a; = o.
i. Trouver la valeur de y.
(2 X^/âmT+î
pour m =. » .
Le calcul doune
Lim y = 2 v «j
t . Quelle e»t, pour m=i », la vt*aie valeur de la fraction
On divisera d'abord, haut et bas, par m* et Ton écrira la fraction sous la forme
a ce propo») on démontrera que la limite de [ l + - 4- — , + . • ] ^ pour
wi = 00 est éjçale à e*. Ou géuéralisera eutin Texercice proposé eu cherchant, pourfM=: », la limite de l'expression
•. Démontrer que la limite de [ i ] ^pour w — oc, est égale à -.
