i + aK

Lu logarithme de b est, par définition, le nombre ;r : on a donc

qrzzi.

D'après cela on voit que la base b est donnée par la formule

Ceci posé^ soit y un nombre quelconque de la suite U,

(2) yz=(i-ha)^

en désignant son logarithme par x^ on a

(3) xzzpr. Des égalités (2) et (3) on tire

ou

ou enfin

Cette relation entre x ety établit bien l'identité des deux définitions. Nous abordons maintenant l'étude des propriétés des logarithmes.

9&4. Théorème. Tout nombre positif a un logarithme^ dans un système de base donnée.

Soit a» la base donnée (*) ; considérons l'équation

yzza'';

1 . Il est entendu que a désigne an nombre positif, sans quli soit iiécessaire de rappeler constamment celte condition imposée à la base du système.

LES LOGARITFIMES 275

quand x varie de — » à -f- ac, nous avons montré dans Télude que nous avons faite de la fonction exponentielle, que y variait d*une façon continue et croissait constamment. Soit y, le

nombre proposé. La fonclion a^ élant continue et variant de

+ 9oà — 30, on sait(§23o) que a^ passe, au moins une fois, par la valeur y„ pour une valeur x^ de x, D*ailleurs la fonction étant croissante ne passe qu'une seule fois par cette valeur y y ; et ceci établit que tout nombre positif a un logarilbme, et quMl n'en a qu'un seul.

On désigne par la notation abrégée Log^ ou, plus simplement encore, parla seule lettre £, le mot logarithme. Ainsi pour exprimer qu'un nombre a, est le logarithme d'un nombre 6, on écrit

a n: Log ^ ou

Lorsqu'on veut rappeler que la base du système de logarithmes que Ton considère est un nombre a ; on peut introduire, dans la notation^ l'indice a, comme l'indiquent les égalités suivantes

a=nLoga3 ou

Le syokbule L, est réservé aux logarithmes népériens; ces logarithmes, sur lesquels nous reviendrons tout à

l'heure, ont pour base le nombre e. L'équation y :^a^ admet évidemment la solution a?iz i y :=: a ; ainsi on a Log^a =: i. Oa

peut aussi remarquer que Ton a Log^ i = o^ quelle que soit la

base a.

96&. Théorème I. Le logarithme d'un produit de plu» sieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs*

276 VINGTIÈME LEÇOxN

Nous voulons montrer que Ton a

Log {Vi Vt - V;,) =Logy,+ Logy.-h... -f-Logy^.

Désignons^ en effet, par a;,, d^^, ... x^ ; les logarithmes respectifs des nombres y^ y,» ••2/^; on a, par la définition même,

Vt

yp

ay représentant la base du système considéré. De ces égalités on déduit, par combinaison, la relation

Mais cette égalité prouve que a?, -+- j?, + ... -hx^ est, précisément, le logarithme du nombre y, y, . • y^. On peut donc dire que

Log (y, y, ... y^) -x, + v^ + ... + a?^, ou que

(0 Log(y, y. ... y^) - Logy, -h Log y. -h ... -4- Log y^.

IS&G. Théorème WL Le logarithme dune puissance entiè7*e et positive m, est égal à m fois le logarithme du nombre qui est élevé à cette puissance.

Si dans Tégalité (i) qui, au fond, est une identité, vérifiée par toutes les valeurs positives attribuées aux lettres yi, y„ ... y^

on suppose

y,=:y,-,..y^izy;

on obtient le résultat suivant

Log (y"*) = m Log y.

Celte égalité a lieu quel que soit y et pour une valeur ealière, positive, et quelconque de m ; elle prouve Texactitude du théorème énoncé.

^S^'l. Théorème m. Le logarithme d'un quotient est égal à la différence qui existe entre le logarithme du dividende et celui du diviseur.

Cette proposition est encore la conséquence immédiate du théorème I, théorème qui doit d'ailleurs être considéré comme constituant la propriété fondamentale et caractéristique de la fonction logarithmique.

Si Ton pose en effet

on en déduit

u^vy

et, par suite,

Log u •=. Log t) -\- Log y

ou finalement

u Log - = Log u — Logt).

Cette dernière égalité démontre bien la propriété énoncée.

m&8. Théorème IV. Le logarithme d'une racine d'indice m est égal au logarithme de la quantité positive placée sous le radical^ divisé par Vindice m.

Soit 'Va, le radical considéré ; nous supposerons que A est

une quantité positive ; '>/A dans cette hypothèse a une valeur bien déterminée et que nous avons précédemment définie. Soit y cette valeur ; nous pourrons donc poser

y= vA,

égalité de laquelle on déduit

273 VLNGTIÈME LEÇON

On a donc, par application du théorème 11^

Log A =: m Log y.

ou

ou, finalement.

LQg^A) =

$B&0. Changement de base. Nous supposons, sans nous préoccuper de savoir comment ce but a été atteint, qu^on ait construit une table de logarithmes dans un système de base a, et nous nous proposons de transformer cette table en une autre ; les logarithmes de celle-ci ayant pour base un nombre 6, différent de a.

Prenons un nombre quelconque y ; soit x son logarithme dans le premier système, et X son logarithme dans le second.

et aussi

On déduit, de là

a^zzb^.

Deux nombres égaux ont, dans un système déterminé, des logarithmes égaux. Prenons, dans Tégalité précédente, les lo* garithmes des deux nombres dans le système a. Comme Ton a, Log. a= 1, on obtient la relation

Soit posé

= X log„6.

~ Log,ô '

M s^appelle le module de transformation ; on voit qu'il est égal à rinverse du logarithme de la nouvelle base, logarithme pris dans la table proposée. On a d'après cela,

XzrM.a?.

Ainsi les nouveaux logarithmes sont proportionnels aux anciens ; et pour calculer la nouvelle table il suffit de multiplier ceux de la table donnée, par un nombre toujours le même.

Cette transformation pourrait s'effectuer par des calculs relativement simples^ en appliquant la remarque suivante. Soit M le module de transformation ; en calculant, une fois pour toutes, les produits

on obtient ainsi 9 résultats ^

el, avec ces nombres, A< A, ... Ag on peut effectuer la transformation de la table^ par de simples additions. Nous n'insisterons pas autrement sur cette observation élémentaire.

9SO. Remarque. On rencontre fréquemment des expressions de la forme

LogA LogB

la base du système de logarithmes n'étant pas connue, ou, si Ton préfère, étant indéterminée. La valeur de ti n'en est pas moins bien déterminée. Cela tient à la remarque que nous avons faite, dans le paragraphe précédent, et en vertu de laquelle les logarithmes de deux nombres y dans deux systèmes différentSy sant proportionnels.

liMf . WA^gmrîthtnea Mépériens. Les logarithmes ont été imaginés par Néper Q) et la base choisie par lui a été le nombre e. Voici comment on peut expliquer ce choix qui, au premier abord, a une apparence singulière. Dans les deux progressions (U) et (V), dont nous avons parlé plus haut, entrent

deux indéterminées, « et r. Néper suppéldiii module du st/sième

r le rapport - de ces deux quantités arbitraires. Dans cet ordre

d'idées, le système démodule simple est celui qui est égal à

Tunité et qui correspond à Thypotlièse r = a. La formule (i)

donne alors pour la base le nombre (i -+-a)*, et quand on suppose que a est très petit et tend vers zéro, hypothèse naturelle, et même nécessaire, si Ton veut que tous les nombres

et leurs logarithmes figurent dans la table, on voit que la

base doit avoir pour valeur la limite de (i H- a) , pour ar: o, c'est-à-dire e,

PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITnilFQUE.

969. Théorème 1» La fonction logarithmique est une fonction continua, quand x varie de zéro à -i- ».

Nous appelons fonction logarithmique celle qui est liée à la variable indépendante x par Téquation

(i) y — Logx.

Si l'on désigne par a la base du système considéré, la définition du logarithme, telle que nous Tavons donnée tout à l'heure, prouve que l'égalité précédente entraîne celle-ci :

(a) a? n fl^.