Au commcD cernent du xvip siècle

D*après cette équation, x est un nombre positif» quelle que noit la valeur de y. D'ailleurs à toute valeur positive donnée à Xy correspond un logarithme y^ et un seul ; ceci prouve déjà que y est une fonction bien déterminée dans Tintervalle (o, -4- ao), que nous considérons.

Pour montrer la continuité de la fonction, donnons à a; la valeur x-\-h\ l'accroissement k de la fonction est donné par l'égalité

h zr Log (a? -+- A) — Log x

que Ton peut écrire

(3) ArzzLog(i-f.^).

De cette égalité, et de la définition des logarithmes, on tire

Lorsque h est nul, le premier membre est égal à l'unité ; le second membre ne peut prendre cette valeur, que si l'on suppose A^= o.

D'ailleurs a"^ est une fonction continue, lorsque h a une valeur très petite, h a donc, lui aussi, une valeur 1res voisine de zéro. Cette remarque établit la continuité de la fonction logarithmique; continuité que nous déduisons, comme on le voit, de celle, précédemment démontrée, de la fonction exponentielle.

Stt3. Théorème n.La fonction logarithmique est croissante.

En effet, d'après l'égalité (2), et en supposant a > 1, on voit que si le logarithme est posilif, le nombre correspondant est supérieur à Tunité; et inversement. L'égalité (3), dans laquelle on suppose, bien entendu, A > o ; prouve que k est le logarithme d'un nombre plus grand que l'unité ; on a donc A: > o la fonction logarithmique est croissante.

Il faut ajouter qa*elle croît indéfiniment avec x. En effet, si

dans réquation (2), on suppose que x croisse au delà de toute

limite, il faut admettre que y n'a pas, dans cette hypothèse,

de limite finie, puisque, à une valeur finie de ^, correspond

nécessairement, pour rr, une valeur finie.

Lojaric ftB4Lirhéorénàe III. Le rapport — ^—tendvers zéro y quand

X croît indéfiniment.

Posons en effet

Lo^x

zzz — ^^

et soit

On a, par suite.

y rz Log x.

xzza^^

La valeur de z peut alors s'écrire

z-zi—.

En supposant que Xj et par conséquent y^ croissent indéfi-

y niment, onavu(§ 241) que le rapport—- dans lequel on sup-

a^ pose, bien entendu, a> 1 tendait vers zéro, quand y croissait au delà de toute limite.

96&. Théorème IV. La fonction ( — Log a^ croît au delà de toute limite, quand x décroît indéfiniment.

Soit

y z: — Log X on a donc

X — rt""^

ou

Lorsqa^on donne à x des valeurs positives, variables, et tendant vers zéro; les valeurs correspondantes de y augmentent sans cesse, et croissent indéfiniment. Ceci résulte de Tétude que nous avons faite de la fonction exponentielle.

MM. ReprésenteÉion graphique de la fonction io« Saritfmiiqne. Si Ton considère Téquation

y=:Logx;

û: étant une variable indépendante, entre les limites o, et + ^ ; les valeurs correspondantes de j^, en appHquant les théorèmes qui précèdent, peuvent être représentées par les ordonnées de la courbe ci-dessous.