Quelle est la valeur de —^ , pour a

On posera

OLZZ i H .

^tOV. Définitloa de la fonotton dteivée. Désignons, comme nous Pavons déjà fait à plusieurs reprises, par x la variable indépendante, celle à laquelle on peut donner, au moins dans un intervalle déterminé, des valeurs arbitraires ; et soit y la variable dépendante. Cette dépendance de y est déterminée par une relation entre les deux variables Xy y ; relation telle, qu'étant donnée la valeur de x^ il faut, pour obtenir la valeur correspondante de y effectuer^ avec cette valeur, une certaine opération, désignée symboliquement par f{x). La formule qui indique ce calcul est.

Si l'on donne à x une nouvelle valeur a; + A, on obtient pour y, une valeur correspondante y-^-k. Nous dirons que h est Taccroissement donné à la variable indépendante, et A;, raccroissement correspondant de la variable dépendante. Ce mot accroissement doit d'ailleurs être pris dans son sens mathématique et les accroissements dont nous parlerons pourront être tantôt positifs, et tantôt négatifs. Le problème des tangentes, problème dont nous dirons un mot tout à Theure,

k a conduit à chercher la limite du rapport j, quand A tend vers

zéro. Lorsque cette limite existe, et a une valeur bien déterminée, on rappelle la dérivée de la fonction. Cette dérivée est une fonction de la variable indépendante x : Nous convenons de désigner cette nouvelle fonction par y', ou par p{x) ; ces deux notations étant également usitées.

9G8. Exemples de fonetions dérivées. Montrons d'àbord^ sur des exemples simples, comment on peut déterminer la dérivée d*une (onction donnée.

I «» Soit

a x-hb

Donnons à la variable indépendante la valeur x 4- A ; on a

par suite

a (a;-f-A)-l-6 ax-hb

OU, encore,

k (ab' — ba')

h ^ [a'{x+ h^-h-b^Jia'x+O')'

Si Ton imagine maintenant que h tende vers zéro, on voit,

k par régalité précédente, que le rapport - a une limite, et que

cette limite est égale à

ab' — ba'

{a'x 4- 6') On écrira donc

ab^—ba'

(a'x-hb'y

Dans le cas où y est une quantité constante, pour mettre la variable x en apparence dans l'expression de y, on peut représenter //, par

a x-hb a'x-hb*'

mais avec la condition ab'^ba'zzo.

La formule précédente montre que Ton a y'zzo. Ainsi la dérivée dune constante est nulle ^

LES DERIVEES 2S7

i" Soit encore

On a

puis,

y zz Aaf.

y + kznkix-hhy

^zzpAjT^ + hV;

V désignant un polynôme entier. Cette égalilé prouve que le

rapport -, pour A — o, a une limite qui est égale à pkx^^\ On

a donc

y'zzpkaTK

3^ Considérons enfin la fonction entière

y zz Aox"' -h A.x"**' -h AX"' + ... -^ A,„.,j; -h A,„. On a, par un calcul analogue au précédent,

J|=[mAor'""'-f-AUj-+-[(w - i)A,a;"*~^-HAUj-h...-f-[A,n.i •

Lorsque h tend vers zéro, on conclut de cette égalité,

y' - /nAoT"*"* -h (m - i) k.d^^^ -4- .. -4- A„,|.

Ainsi la dérivée y' dune fonction entière y, du degré m, est une fonction entière du degré (m — i) ; cette dérivée ne renferme pas le terme constant A^, de la fonction proposée; enfin

un terme quelconque + Aj^x^^^ de y donne, dans y'^ un terme

correspondant + {m —A) A f^x'" * ^ •- * , déduit du précédent d'après une loi évidente.

90S. RepréseataUon f^éométrlqae de la dérivée*

Nous nous proposons de montrer maintenant comment cette

idée de la dérivée s'est nalurellement introduite dans Tana lyse, quand on a cherché à tracer la tangente en un poinl d*une courbe donnée par Téquation

Soit AB la courbe qui correspond à cette équation^ M ur point particulier de AB ; soit enfin M' un point voisin de M surAB.

Sur cette figure, MP représente Taccroissement h donné à Xy M'P Taccroissement correspondant h de la fonction. Le triangle rectangle M'PM donne d'ailleurs

Lorsque le point M' se rapproche du point M et vient se confondre avec lui, la sécante M'M a, en général, une position limite, bien déterminée, qui est celle de la tangente MT à AB, au point donné M. Si Ton désigne par a Tangle bien défini (') que fait la semi-droite MT, avec oXy on a

2/'=:lga-

1. Voyez pour ladéfinilioa de cet angle le Cours de gôomélrie analytique.

C'est ainsi que la connaissance de la fonction y' permet de coQslruire la tangente au point M à la courbe proposée, et Ton voit comment le problème des tangentes a conduite la Dotion de la fonction dérivée.

i PRINCIPES OÉNÉRAUX POUR LB CALCUL DES DÉRIVÉES.

' 5090. Nous désignerons ordinairement par Ax Taccroissement donné à la variable indépendante. Si u désigne une certaine fonction de x, nous représenterons par Au l'accroissement correspondant éprouvé par cette fonction. II importe de bien comprendre cette notation et d'observer attentivement que Ax est un signe symbolique ^ destiné à remplacer ces mots : accroissement donné à x. De même Am n'est qu'une façon abrégée, et commode, d'exprimer Vaccroistement éprouvé par la fonction u.

9911. Théorème. La dérivée dune somme de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Soit w, y, ... w différentes fonctions de x et soit

Si Ton donne à a? un accroissement Ax ; on a

(2) y-hAy =r w-h Aw-hf -h Au-fp... -f w -{- lu\ Des égalités (1) et (2) on déduit

ou enfin.

u Théorème. La dérivée logarithmique d'un pi^oduit de plusieurs facteurs est égale à la somme des dérivées logarithmiques de ces facteurs.

Lorsqu'une fonction de x est désignée par y, on nomme

dérivée logarithmique (*) de y, le rapport —.

Soit

y :=. u.v... Wy

il faut montrer que Ton a

Prenons d'abord le cas particulier de deux facteurs. Soit

on a

ei, par combinaison»

ax ax àx Ix

Dans le second membre on remarquera que le dernier terme A« -— tend vers zéro, en même temps que Ax, parce que ce

terme est le produit de deux facteurs ; Fun Aw qui a pour li-

Ay mite zéro ; l'autre--- dont la limite est v' quantité qu'on ne

Aor

suppose pas infinie. A ce propos il importe de dire ici que toutes les fonctions que nous considérons sont supposées satisfaire aux conditions suivantes : i° Elles sont continues^ au moins pour la valeur de x considérée. 2» Elles ont une dérivée qui est une quantité, bien déterminée, et non infinie. Cette hypothèse sera admise dans tout ce qui va suivre, sans être rappelée, pour éviter des répétitions inutiles. Si Ton revient à l'égalité (3) on a, en passant à la limite,

z' zz ui)' 4- vu'

1 . NoUâ verrons plus loiu, après avoir cdlculé la dérivée de k fouctioo Xogarilhmiqne, la raisou de cette dénoiniaatiou.

OU

Ceci établi l la proposition pour deux facteurs. En la supposant vraie pour (» — i ) facteurs ou Tétend, sans difficulté, au cas de n facteurs.

fns. Théorème, La déi*ivée d'un quotient y, de deux fondions u et v, est donnée par la formule

vu' — wy' 1/'— ; .

Cette formule s'établit, et sans difficulté, par la méthode direct€y celle que nous avons suivie précisément dans les exemples précédents.

On peut aussi considérer le théorème qui nous occupe comme un simple corollaire du précédent

En effet, soit

on a donc

u ZZ VIJ

et, d'après

la formule (À),

De cette

égalité on lire

uf ■

vu* — uo'

ff^^L. Iliéorénie. Lu dérivée de la puissance entière et positive m, d'une fonction w, est donnée par la formule

Cette propriété est encore la conséquence de la formule (A). En supposant que toutes les fonctions u, v,.., w; soient égales

et en nombre m, on a y =: w"*, et, par suite,

OU

— nm —

ou enfin

I^VS. O^rivëe de a^ Nous nous proposons maintenant (le trouver les dérivées des fonctions transcendantes que l'on rencontre dans l'analyse élémentaire.

Nous nous occuperons d'abord de la fonction exponentielle.

Soil

on a

kzz.a ^ — a j ou

Changeons de notation, et posons

a^ — i zi a ;

cotte éiîalilé donne

Lo!2(i -f-a) "^ Log û

On voit que si h tend vers zéro, a* tend vers Tunité; a décroit donc indéfiniment.

La formule (4) devient alors

k ^Logfl h"^ Log(i-ha)^

ou encore

Lo<ra

Log(i + a)*

Lorsque a tend vers zéro, on sait quefi-f-a)" a pour limite le nombre e: on a donc finalement

, X Lo)? a Loge

On doit remarquer le cas particulier oxxaize; la formule précédente donne alors

y' zze

Loi?e

Ainsi la fonction e^ est égale à sa dérivée, 99B. Dérivée de XiOg ^* Soit maintenant

y-Logx;

on a

ou

ou encore

Si l'on pose - =: 2, on voit que a tend vers zéro, en même

temps que h ; d'ailleurs lim ( i -+- a) = e, pour a n o : on a donc finalement

Loffe y == •

29i VIN(iT ET UNIÈME LEÇON

On remarquera que dans le eau du logarithme Népérieny la fonction dérivée est V inverse de x,

!999. Dérivée du slnns. Soit

y zzs\ux\

on a

k sin(a? + /i) — sino:

ou

k asina / /' cos X

Celte relation peut encore s'écrire de la manière suivante

Si nous passons à la limite, après avoir remarqué que le

(sin -\ —, — '- L a pour limite Tunité, pour h =0, on obtient

la dérivée cherchée y', parla forrpule

y' zzcos.r.

!998. Dérivée da eosioas. Un calcul semblable prouve que si Ton pose

y — cos Xy

on a

î/'ir— slnrr.