Formule de Taylor pour la ffonetion entière

[Deuxième dèmonsitralion,) A l'inverse de ce que nous venons de faire, on peut déduire la formule de Taylor de celle du binôme.

Soit

Nous avons donc

A.r+A=:A«(x-+-A)"'+A,(x -[-*)'"-'+.. .+Aj.(.r -1-A)"'~'"-+--+A,„- Développons, d'après la formule dn binôme, les expressions

(x+h)"; (x-hh)'"-' . ...

el groupons les termes de façon h les ordonner suivant les puissances croissantes de h, nous avons

AoT -+-wAo.r

fîi— 2

—h.,.-hm(m^i)...(m—k-\-i)\urr" ^'

^ +...-f-AoA'"

La première colonne est identique au polynôme proposé

/■(a?); le coefficient deh/s f {x): en général, celui de r-,à/*(x)- Ecrivons donc

f(x-i-k):s:rix)-h-r(x)-h'^r(x)-h...-h^,f^{x]-h

I 'Àl Kl

On remarquera que le dernier terme de ce développement,

le terme Ao^*", a été écrit sous la forme — - /"*Va;),pour donner

à la formule une apparence plus symétrique.

311 . Formule de Taylorponr une fonction entière de deux oa plusieurs variables.

Considérons une fonction entière des lettres a; et y ;

Nous nous proposons de développer l'expression /* (a; +^> y + k), suivant les puissances croissantes de h et de.*, et au moyen des dérivées partielles successives de la fonction donnée.

Nous ferons d'abord remarquer que dans la démonstration de la formule de Taylor, telle que nous venons de rétablir, rien n'empêche de supposer que la fonction considérée renferme, en même temps que la lettre x, une autre lettre y. L'idenlité de Taylor s'écrit alors sous la forme suivante:

f{x + /' y y) = f{x yy)+-fA^yy) +7-T /^(^ » y) -

Celte identité subsiste évidemment quand on y remplace la lettre y, par y -h *, et cela quel que soit k. On a donc

D'autre part, et d'après la formule de Taylor, on a

f(x.y+k)zs:r(x,y) i--j'y(x.y)+-:^fy^x,y) ■\-..+—,f%{x,y)

/;(x.y+fc)=:/->,y)t-*/;'^(x,î/)-f-...+-^l-^/^„,(x,y)

Multiplions ces identités respactivement par

* > » I» ••• I* 1 2! ml

Ces résultats étant ajoutés donnent la formule suivante

fm)

/C* v/ A'""'ifc

t. a'!'' "^;in-a)!2!^«"-V

C'est cette identité qui constitue la formule de Taylor, daus le cas de deux variables. On remarquera que la démonstration précédente s'applique, sans modification essentielle, à un plus grand nombre de variables. On trouve ainsi pour trois variables ic, y, z la formule suivante

r{x-i-h,yJ(-k,z+l):=:f{x,y,z) + hf'^+ — f:,+

hk fly

kl fyg

330 VTNCiT-TROÎSTÈME LEÇON

Dans le second membre le nombre des colonnes est ejral à (m+ t), quand on supposée que /"désigne une fonction entière du degré m ; et la colonne de rang [i + f ) est

h' -h Ai) h' \kl ji) A' -/ (i)

3l!S (*). On peut déduire, comme nous allons le montrer, de la formule de Taylor, la dérivée de la fonction implicite. Les considérations qui vont suivre, pour être exposées avec la rigueur désirable, doivent emprunter quelques propriétés à la théorie des équations, propriétés qui seront établies plus loin.

Mais nous entrerons d'abord dans quelques détails nécessaires, sur la fonction implicite.

. Soit y une fonction implicite définie par Téquation

nous supposons que o {x ,y) désigne une fonction entière des lettres x et y, à coefficients réels, et que le plus grand exposant qui affecte la lettre y est égal à q.

La difficulté qui s'attache aux fonctions implicites tient à ce fait que ces fonctions ne sont pas bien déterminées. En effet, à une valeur donnée de x, correspondent q valeurs de y ;

\. La lecturfi de co para^aphfi et dps siiivaals, jusqu'au paragraphe» 316 inclusivement, peut. Bans inconvénient, ^tre reportée après la leçon 27.

c'est ce que montre le théorème de d'Alembert {$ 355). Ces valeurs y,, y„ ... y , varient, avec x, et chacune d'elles peut

constituer une fonction continue et bien déterminée. Nous allons développer ce point dans le paragraphe suivant.

313. TJÊéoréme, Lorsque régulation o(j7,y)zzo admet ta solution xnzxo y:=iyo\si la dérivée partielle de^^ par rapport à y n'admet pas cette solution^ la fonction ?/o est bien dêtei^ininée dans rintervalle x^ -}- 1, Xo — 2. £ désignant une quantité suffl^ammeiit petite.

On a on effet, d'après la formule de Taylor,

/ hk u

fnî If

ou, puisque l'on a 9 teo ?/o) = <»,

Si, dans cette identité, on fait h m o, et si x^-^h et y^ + A? représentent une solution de Téquation proposée 9 (.r , y) — o, on doit déterminer h par la relation

Cette équation est du degré q par rapport à k. En effet

<f{x,y) est du degré q, en y et, pour obtenir la relalion (3), on a remplacé, dans celle équation, la lettre y par y + ^; le résultat est donc bien du degré q en k. Or, parmi les racines de(3) se trouve la solution évidente fe iz o, ce qui prouve déjà que parmi les q valeurs de k, qui correspondent à raccroîssement h donné à la variable indépendante, il y en a une qui tend vers zéro, en même temps que h.

Je dis maintenant que cette valeur de A;, voisine de zéro, est réelle.

En effet, si à la valeur h correspondait une racine imaginaire de la forme «a — i 6,^, Téquation à coefficients réels,

admettrait aussi, comme nous le verrons bientôt {$ 36o), la racine a^ + i6/^.En supposant que h tende vers zéro, Téqualion

aurait deux racines nulles, qui seraient les limites des deux expressions imaginaires conjuguées «a+iSa et «a — iÔA- L'équation (3) ne permet pas d'admettre celte conséquence puisque Ton suppose ^y ;zf o. Ainsi à la valeur Xo-hh, donnée à la variable indépendante, correspond une équation du degré q en k; cette équation admet gr racines, parmi lesquelles il en existe une et une seules jouissant de la double propriété i« d'être réelle, 2" d'avoir zéro pour limite, quand on suppose A :zo. En désignant cette racine par A;^, y» -\- kj^ est une fonction bien

déterminée de h, puisque k^ n'a qu'aune valeur,

914. Ilérivée de la fonction implicite. Considérons maintenant deux solutions, x^, y^ ; rr© + A, 3/o-H * de l'équation

La formule de Taylor donne la relation

h* (i) ozzhoi -i^k^l H o\ 4-...

Nous supposons que 9^ est différent de zéro ; k désigne d'ailleurs la quantité que nous avons définie tout à Theure

et qui est une fonction bien déterminée de h. Par suite -

est une fonction bien déterminée ;'et quand h tend vers zéro, h tend lui-même vers zéro. Nous allons montrer que ce rapport a une limite et nous déterminerons cette limite.

Nous distinguerons deux cas suivant que cette limite est finie ou infinie.

Dans le cas où la limite est finie, on la détermine facilement en remarquant que Tégalité (1) peut s'écrire

k Si h tend vers zéro, et si -ne croit pas indéfiniinant, cette

égalité prouve que tous les termes disparaissent, à Tex.cep-

k tien des deux premiers ; et en posant y' — lim - , on a

Mais cette démonstration est en défaut quand on suppose

k quelerapport -croit indéfiniment, quand A tend vers zéro.

fv

Nous allons montrer que cette hypothèse ne peut pas être admise quand on suppose, comme nous Tavons fait, ç^^ 7^ 0. L'égalité (i) peut s'écrire, en effet,

i3i VliNGT-ÏRUlSlEME LEÇON

Lorsque h tend vers zéro, - lerid, lui aussi, vers zéro, d'après l'hypoUièse que nous avons faite. On a donc, à la limite,

et nous supposons, au contraire, ^y^ ^ o. 315. Remarque 1. La formule

donne encore lavaleur de t/ quand on suppose ^' i^o^el^j^j^^' En effet 1 égalité (i) permet de déterminer la limite du rap-

port - puisqu on suppose o^ ^ o.

Cette limite est donnée par la relation

^^.limyi-o

ou, puisque ^^^^ n'est pas liul,

lini

k On peut donc dire que le rapport - croit indétiniment, quand h

tend vers zéro. Mais la formule^ '~- —, dans riiypothèse ^^y-''*

LA SÉRIE DE TÂYLOH 33b

s^^;zfo, donne ponr y* un nombre infiniment grand; celle

formule peut donc encore, dans le cas parliculicr qui nous occupe, indiquer la valeur de y*.

31 G* Remarque II. Lorsque Von a simuUanénient

o' :z: o 5' iz u,

k la limite y' du rapport -r n'est pi un donnée par la formule

^jco'.'a

mais par la relation

OU par une relation d'un degré supérieur à 2, par rapport

il y'-

L'égâlilé (1) peul s'écrire, dans l'hypolbose que nous venons de faire

hk „

I^orsque h tend ver:5 zéro, 1 équation du degré q en A; a deux racines qui lendenl vers zéro, et deux seulement, si l'on suppose ç-yg ;zf 0. Admeltons que ces valeurs soient réelles, avant leur

passage par zéro, et considérons Tune d'elles, en parliculler :

h le rapport - est encore une fonction de /«, bien déterminée et

si, pour/i =:o,ce rapport ne croit pas indéfiniment, l'égalité ( 1) prouve que ce rapport a une limite, limite qui est une des racines de l'équation

Le raisonnement précédent s'appliquant également bien

à Tune et à Tautre des deux valeurs de k qui ont pour limite zéro : on voit ainsi que Téquatlon (a) donne Tune et l'autre

des deux limites de r •

Ce résultat est en défaut quand on a simultanément

Dans ce cas, on voit que trois valeurs de k tendent vers

zéro, en même temps que h et que les trois valeurs du rap-

k port r-, quand on suppose hzzo, sont données, par Téquation

du troisième degré

La généralisation de ces résultats est évidente.

31 9. Série de Taylorpour une fonction queleoaqve.

On peut toujours poser

f (x) et ses dérivées successives étant des fonctions continues.

Nous supposons que p-hq est une quantité positive ou nulle; q désigne d'ailleurs une quantité arbitraire, et R, une inconnue que nous nous proposons de déterminer.

En posant

x^ =.Xo-hh, l'identité précédente peut s'écrire

(2) f{x,)-r(xo)^{x,-xo)r(x.) + ...+^'^^^^

pi ip-^q+i)

Considérons maintenant une fonction de x^ fonction que nous désignerons par © (x), et que définit Tidentité

9 {X) =/\x.)- /-i^: - ^^ r (a.-) - fc;^ r Cr) ...

En prenant la dérivée de cette fonction, et en tenantcouipte des simplifications qui se produisent, on a

ou

Ceci posé, on peut remarquer que Ton a : i*» ç {x^) =: «», pour une raison évidente ; îî» & {x^) — o, d'après Tégalité (•>.;.

L^équation ©' (x) =: o s'annule donc (g 294), pour une valeur de jc comprise entre x^ c-t x,, ou entre x^ et a;© + A, et que Ton |)eul représenter par Xq -h OA, en supposant

L'^identité (3) donne donc

R [X, - x„ - hhf - f^'-^'^ (./•„ 4- 0/0 -- o

DU

On a donc finalement

(A) f{x,-hh)^ f{x;,^\r[x,)-^^r{x,H ...

en posant

La formule (A) est la formule de Taylor ; M^ se nomme le terme complémentaire, ou le reste du développement (*).

318. Différeates formes du reste. On peut donner au terme complémentaire différentes formes que nous allons indiquer :

1® En supposant ^ :ir o, on a

cette forme a été donnée par Lagrange.

2® Lorsqu'on a p -h g = o, on obtient une autre forme

c*est la forme indiquée par Cauchy.

3® En prenant dans le développement (A) un terme de plus ; en d'autres termes, en ajoutant et en retranchant

Si, dans cette égalité on remplace successivement M par les valeurs données par les formules (G) et (D) on obtient deux