Cette déiuoiifltratiou est duo a M. Kuurht

nouvelles formes du reste. Mais les formes de Lagrange et de Gauchy sont celles qu^on applique ordinairement.

319. Foraule de Mae-E.anria. Si dans l'identité (A) qui a lieu pour toutes les valeurs de 0*0 et de hj on suppose a-Q =: o, A — x, et g =1 o, on obtient Tidentité

P en posant

(B') ■H^^irj^r'^"'i^)^

ces identités {A') et (B') constituent la formule de Mac-LaunUé

390. DéAoltioii da maximum et du minimum. L'une des applications les plus intéressantes des fonctions dérivées est rétude des variations d'une fonction donnée et, ce qui est un point particulier de cette étude, la recherche des valeurs maxioia et minioia de la fonction, valeurs que nous allons d'abord définir.

Soit e une quantité positive, variable, et aussi petite que Ton voudra ; on dit que la fonction y, définie par Téquation,

a passé par un maximum, pour xzzx, lorsque Ton a

A^-s)</^(a), et /'(a + £)</"{a).

On dit, au contraire, que y a passé par un minimum lorsque Ton a, dans ces mêmes conditions,

/•(a-£)>/'(a), et /•(a-f-2)>/'(a).

On suppose que y est une fonction continue, et bien déler- , minée, dans l'intervalle a — s, a4-£.

On remarquera que celte définition exige que la valeur a, attribuée à a;, soit finie.

891. Théorème. Soil f(x) une fonction entièi'e ; si, ponv xznaL^ on suppose que Von ait

el

!• iSt p est un nombi*e pair la fonction^ pour x rz %,pas8e par

un maximum si Von a /^^^(aXo ; au contraire^ elle passe par

un minimum si Von suppose f^^ (a) > o. 2« Si p est un nombre impair, la fonction est croissante si

r^^ia) > 0, et décroissante si /^'^ (a) < o. Nous avons élabli précédemment Tidentilé :

J .2...JD' ^ ^' ^

/■(a;) désignant une fonction entière.

On sait que dans cette formule 9^^^ (a?), désigne la dérivée d'ordre p de ç (a;), fonction qui est définie par Tidentilé

avec la condition a - xzzh,

11 importe de remarquer que 9 (a?), pour des raisons connues, est une fonction entière de x et de a.

Ceci posé remplaçons dans (1), x par a ; en tenant compte de Thypothèse que nous avons faile, nous obtenons le résultat plus simple

On peut maintenant observer que si Ton remplace dans 'S'^{x)yX par a, et a par (a -4- A), ç'^C^) devient une fonction entière de a et de h. D'après cela on peut donc dire que la parenlhèse a pour limite f^^^ (a), quand h tend vers zéro.

342 VINGT-QUATRIÈME F.EÇON

Le théorème qui nous occupe est la conséquence immédiate de ridentité (3).

i^'pest un nombre pair: pour des valeurs de A, suffisamment petites, positives ou négatives, la différence f{% 'hh) — f{(i), a le signe du nombre f^'^'^o) ; la fonction passe donc par un

maximum ou par un minimum suivant que f^"^ (a) est négatif ou positif.

u® p est un nombre impair : dans ce cas le second membre de ridentité (a) change de signe, en même temps que h ; la fonction f{x) est donc croissante ou décroissante suivant que

Ton suppose f^'*^ (a) > o, ou f^''^ (a) < o.

999. Examea du eas normal. En général, le nombre a qui annule la dérivée première de la fonction donnée ne rend pas nulle la dérivée seconde : c'est ce qu'on peut nommer le cas normal.

11 importe donc de remarquer le corollaire suivant auquel donne lieu le théorème général que nous venons de démontrer:

!• Les valeurs de x qui font passer une fonction y par un maximum ou par un minimum sont celles qui annulent la dérivée première y\ sans annuler la dérivée seconde \f* ;

a® Il y a, pour cette valeur de x, qui annule la fonction y' un maximum ou un minimum pour y, suivant que la dérivée seconde y*, est négative ou positive.

393. Il résulte de cette remarque que si Ton trouve une racine a de l'équation dérivée (*) il ne faut pas affirmer, au moins immédiatement, que pour o; = a la fonction considérée passe par une valeur limite ('). Il faut, avant de conclure sur ce point, vérifier que le nombre a n'est pas une racine de Féquation dérivée seconde.

i . On dit, dans un langage conventionnel et commode, équation dérivée: au lieu de équation obtenue en égalant à zéro la dérivée de la fonction donnée,

2. Valeur limite, veut dire valeur masima ou mlnima, quand on nf vont pas dlMiDguor Time de TautiT.

On peut, dans certains [cas, éviter cette vérification, quelquefois pénible, en utilisant la propriété suivante :

Tliéoréme. Lorsque la fonction dérivée s'annule^ en passant du positif au négatifs la fonction passe par un maximum ; au coîitraire la fonction passe par un minimun^ quand la déi'ivée s'annule^ en passant du négatif au positif .

Nous distinguons deux cas dans cette démonstration, i"" Soit

e désignant une quantité positive et^ d*ailleurs, aussi petite que Ton voudra. On peut alors former le tableau suivant :

Aa— £>o

r décroit ; la fonction^ f^ est négative.

r décroît encore ; /*" est encore négative.

Ainsi au moment du passage; la fonction f\ qui est supposée continue, est négative et ceci prouve que fh passé par un maximum. On voit de même que /* passe par un minimum quand la dérivée f est négative, avant le passage, et positive après.

a* Supposons maintenant que l'on ait f^ (a) = o. Nous venons de montrer que /^ avait le même signe avant et après le passage : Supposons^ pour fixer les idées» que f est une valeur négative : on peut donc former le tableau suivant:

r est une fonction croissante ; f est positive.

r est une fonction décroissante ; r* est négative.

344 VINGT-OUATRÎÈME LEÇON

Maïs alors r s'annule pour a; — a. Ainsi, dans les conditions précédentes on ne peut pas avoir f (a)zz o, sans supposer aussi f^ (a) =i o. On peul poursuivre cette discussion. Si Ton a Z"'^' (a);zf o, en reproduisant le raisonnement de tout à l'heure, on arrive à la même conclusion. Si Ton suppose, au contraire, f'^ (a) — o on démontre que Ton a aussi /"^ (a) z= o ; et ainsi de suite.

3I94« Remarque, l'ne fonction y y de ;r, peut passer par une valeur limite pour des valeurs de x qui rendent la dérivée infinie. Il suffit en effet, pour fixer le raisonnement qui établit le passage de f(x) par une valeur limite, pour xz=.%, que la fonction f (x) change de signe, quand x varie de a — s à a -h e ; /* (a?) étant, nous le rappelons, une fonction continue et bien déterminée dans cet intervalle. Or le changement de signe de /" peut avoir lieu par suite du passage de- cette fonction par la valeur infinie.

Par exemple, soit,

y est une fonction continue et bien déterminée, quel que soit x, La dérivée,

est infinie pour a: — o et passe du négatif au positif. On peut conclure de cette observation que y passe par une valeur roinima, pour x — o.

3$^&. Rapproehement entre la méthode précsédente et la méthode élémentaire.

La méthode élémentaire, la plus générale, pour trouver le maximum et le minimum d'une fonction, consiste, comme l'on sail, à discuter une équation du second degré, telle que

(i) x^{a—n*y)'^'ix {h — l/y) -f r^c'yzz o

éqaalion dans laquelle x désigne la variable indépendante et y la variable dépendante : a, a\ 6, b\ c, c' sont des constantes données. On considère, dans cette méthode, la quanlilp U,

Si réquation U — o admet deux racines réelles et inégales Viy y% ; on dit que y passe par des valeurs limites y., y, pour des valeurs de la variable indépendante respectivement égales à

LMdée qui sert de base à la méthode élémentaire n*est pas identique, au moins en apparence, avec celle que nous avons développée dans cette leçon. Il est pourtant facile de reconnaître que dans le cas que nous considérons, celui d*une fonction y définie par Téquation (i), les deux méthodes donnent des solutions identiques.

En effet, considérons une fonction implicite

/•(a?,y)=:« on a

c'est-à-dire, d'après l'équation (i),

'JL x{a— a*y) -|- 2 (/i — b'y) — y' {a'x* -h 2b'x h c') iz «1.

Pour obtenir une valeur limite de y, il faut avoir y' zz «; par conséquent

(3) x(a — a' y) -\- h — f/y zz 11.

Ainsi dans la méthode que nous exposons les valeurs limites de y; et les valeurs de x qui leur correspondent, s'obtiennent en résolvant (1) et (3), par un rapport à a: et à y. En combinant (1) et (3), on obtient l'équation en y,

{b ~ Vy)* - (a - n'y) [c - c'y) = o ;

346 VINGT-Of ATRIKME LEÇON

c'est-à-dire la relation U = o donnée par la méthode élémentaire. D'ailleurs Téquation (3) fait connaître les valeurs correspondantes de x par des formules qui sont précisément les mêmes que les formules (a) employées dans cette méthode. Les deux procédés conduisent donc à des résultats identiques. Nous allons, d*ailleurs, dans le paragraphe suivant, étudier les variations de cette fonction y,

rw* -h bx -f c

35MI. Variation.*» de la ffraeUon -7—; rz ,.

ft'x -ho'x-^c'

donnons à la variable indépendante la valeur a; +A9 Taccroissèment k de la fonction peut se calculer par la formule

Â- ox* — 2o'x-h y + h(ox — 5^)

en posant

S =z ah'— ha', l' zz en' — ac\ 5" = hc' — ch\

Pour A =: » le dénominateur du second membre se réduit à {a'x*+h^x + &)*^ quantité positive ou nulle ; le numérateur,

dans rhypolhèse où A est nul, est égal à (oîc* — a2'a;4-8*'):

d'après cette double remarque le signe du rapport -7- dépend

donc, pour des valeurs de h suffisamment petites, de celui du trinôme U,

On est ainsi conduit, en voulant discuter le signe de U, à poser

et à distinguer trois cas suivant que Ton suppose

A zz (I, A < <> ou A > o.

!•' C:«M (A = 0). La condition A — o, donne

(aC — ca'Y zz{ab' — ba*)(bd —cb').

Cette relation prouve (% i5o),que les deux équations

ax* -f- 6a? + c == »

ont une racine commune x'. La fraction proposée a ses deux termes divisibles par {x — x'); après avoir effectué cette simplification on aura

et nous avons montré (§ a68), qu'une pareille fonction était, ou constante, ou toujours croissante^ ou enfin toujours décroissante : dans aucun cas elle n'admet de valeur limite.

f^ Vmm (A < (»). Si nous supposons A négatif, la relation

A zzo'* — S8" prouve que Ton a nécessairement 8 ;^ o ; Téquation U = o est du second degré et a ses racines imaginaires. Le signe de U est donc, quel que soit x, le même que celui de 3 : la fonction est toujours croissante, ou toujours décroissante.

8« Ca» (A >o). Nous examinerons^ successivement, dans ce troisième cas^ l'hypothèse où S est différent de zéro et celle où Ton a, au contraire^ S = o.

Première hypothèse (i^o). L'équation Uiro est du second degré et elle admet deux racines réelles et distinctes x' et a^\

Mous ferons d'abord remarquer que ces quantités ne sont pas racines de l'équation

lorsque le trinôme a'x*-hb'x-h(f n'est pas un carré parfait. En effet, pour que les deux équations

348 VLNGT-QUATRIÈME LEÇON

aient une racine commune il est nécessaire que Ton ait V = o, en posant

V s (5c' — a'o'O* + (36' + 'la'VXb'i' + 2 c'S').

Cette condition est d'ailleurs suffisante. V peut s'écrire, par une transformation évidente.

V = [h'' - îrt'c') {il' — 0'*) + (a'r + h'V H- c'$)*.

Mais on a

^/à'^-A'c'-hc'ôsio;

la relation précédente devient, d'après cette remarque,

V=:A(A'*— ia'c').

On voit ainsi que V n'est pas nul, si Ton a b'* — 4a'c' ;zf o.

k Ceci posé, le rapport j changeant de signe quand x est égal

à x\ ouà.'r'^;la fond ion y passe par une va leur limite: t«pour xrzx'; îï" pour a? = x'' , et les valeurs correspondantes de y sont finies et bien déterminées.

Dans le cas où le dénominateur de la fraction proposée est un carré parfait, les deux nombres a?* et x", donnent encore à y des valeurs limites; mais il faut signaler cette particularité que l'un d'entre eux fait acquérir à y une valeur infinie.

Deuxième hypothèse (5 = o). Dans ce cas on a A =r 5'*',ppar

k suite 2* est différent de zéro. Le numérateur de -r devient

k le changement de signe de j n'a plus lieu que pour une seule

valeur de or, valeur finie, donnée par la formule

La valeur correspondante de y est finie si le dénominateur n'est pas un carré parfait; elle est infinie dans le cas contraire.

Vérifions ce dernier point.

Dans l'hypothèse 8 r= o, l'identité

devient

on a donc

'la

b' En remplaçant x par — ^ — - dans Téquation

•"fv

(i/x' -h 6'ir + c' — o on trouve bien

Résainé. Le tableau suivant résume cette discussion.

(IX* + ^^ + (' ^ "" a'x'-^b'x + c'

Izzab' — ha' k = b'* — ia'c'

4 t La fracliou peat être siiiipliliée, y est uue fonctioQ toujours ■~ ) croissante ou toujours décroissaute, si elle n'est pas constante.

A <^ o I y D admet pas dt3 valeurs limites.

f y admt^t deux valeurs limites; ces valeurs 8;2f o \ sont finies si Ton a k ^o\ une d'elles est au \ contraire infinie si Ton suppose ^' = 0.

A ^ u ^ , k^o y admet uue valeur limite ; cette valeur

^ 1 est unique et finie.

A: = o f^ admet encore uue valeur limite ; mais cette valeur unique est iufiuie.

35^9. Valeurs limites des ffonetlons composées.

Imaginons une fonction y définie par Téquation

X étant une variable indépendante et z une variable liée à x par réquation

on a

et

y'^r.+zr^^

Les valeurs limites de y sont celles qui correspondent à des valeurs des inconnues qui satisfont à Téquation y^ zz o. On a donc

Les équations (i) et (2) donnent la relation

On peut généraliser ce résultat.

Soit y une fonction de trois variables a-, j, m,

les variables j, h étant liées à x par les équations

(5) *b {x, z, u) zz o.

Eu lenanl compte de la condition ^ = o on a

et par suite

^(îi

S'il existe des valeurs de Xy de z^ et de u qui fassent acquérir à la fonction y une valeur limite, ces valeurs constituent une solution des équations (4), (5) et (6). Mais la réciproque n^est pas exacte; et toute solution de ces équations ne fait pas atteindre, nécessairement, à la fonction y, une valeur limite.

31B9. Valeors limites des ffonetioiis de piusieurK variables IndépendanÉes. Soit y une fonction de plusieurs variables indépendantes x^z^u\ fonction définie par l'équation

y = f{x, z. Xi).

Supposons qu'il existe pour y une valeur limite, et qu'elle corresponde aux valeurs suivantes

Considérons la fonction de la variable x

Lorsque x varie, Y a une valeur limite pour x^x^; par suite la dérivée de Y par rapport à x s'annule, pour x zzx^. On a do ne

Ce raisonnement peut être répété pour les dérivées partielles de y par rapport à ^ et par rapport à u. Ainsi Xo, ^oi ^'o constituent une solution des trois équations

/•; (X, J, II) ZZ i>

f[ {x, z, il) zn «>

La réciproque de cette propriété n'est pas exacte et Ton ne peut pas dire, qu'à toute solution du système précédent, corresponde nécessairement, pour y^ une valeur limite.

31^9. VariationN des fonctions trans€seBdantes. Les

théorèmes généraux que nous avons donnés {% ^ai, 3îîîî, 323)

s'appliquent aux fonctions transcendantes. Il faut seulement supposer que ces fonctions et leurs dérivées sont continues, dans rintervalle où Ton fait varier la variable indépendante. La démonstration qui établit cette généralisation des propriétés que nous venons de rappeler est identique à celle que nous avons donnée pour la fonction entière, «mais elle prend pour base la formule de 'i'aylor, dans le cas général (% Mf;. Soit par exemple» la fonction transcendante y y

on a

1/ zzx ■* U*-h 1 —La).

Cette valeur de y' est toujours positive. En effet en posant

V zz X 4- 1

Lr

on a

a? ne peut varier que de o à 4- », d'après Téquation (i): d'ailleurs X variant, de o à i, on a w' < o; ainsi m décroit. Pour .rn I, on a « = a, c'est la valeur minima do u. On déduit de là que Uy et par suite y\ est toujours positive; la fonction y

est toujours croissante et la courbe qui représente cette fonction a la forme indiquée par la figure ci-dessous.

Nous n*in$isterons pas autrement sur la variation des fonctions , cette question étant plutôt du ressort de la géométrie analytique. Cette étude nous occupera d'ailleurs, tout particulièrementy quand nous exposerons la construction des courbes, et nous la traiterons alors avec les développements qu'elle comporte.

i. Trouver le maximum de la fonction U»

V=x'"{i-xP)''

Z, Trouver le maximum de U,

quand on suppose