Trouver le minimum de

On cherchera le maximum de V,

Ayant posé jcP"^ + 1 = X, on a

égalité qui permet de résoudre la question, par une méthode élémentaire.

VL\GT-C11\QUIÈME LEÇON

380» DéllnitioB de la vraie valeur d*ane expression IndétermiBée. Imaginons une quantité y bien déterminée et définie par Tégalité

yzzf{u, y, ...);

tf, u, ... étant des fonctions de j?. Pour x i= x^, ces fonctions w, u, ... prennent des valeurs correspondantes Wo, Vo, ... ; et celle de y se calcule en effectuant l'opération qui est symboliquement désignée par /" (i/o, Vqj . ..). Mais il peut arriver, dans certains cas singuliers, que par suite des valeurs particulières »o) t?oi "- l'opération dont nous parlons, opération qui, dans le cas général, est bien définie, soit au contraire^ dans ce cas exceptionnel, dénuée de sens. Nous dirons alors que y a , pour X zz Xo, une valeur indéterminée.

Pourtant y a, ordinairement, même pour xizXf^, une valeur bien déterminée et que nous allons définir. Donnons à a; la valeur Xo-hh^h étant une quantité arbitraire que nous ferons ensuite tendre vers zéro. A chaque valeur de h correspond pour y une valeur y^, bien déterminée. Si h tend vers zéro,

deux cas peuvent se présenter : ou y^^ croit au delà de toute

limite, nous dirons alors que la vraie valeur de y pour x = a^o est infiniment grande ; ou, au contraire, y/^ reste toujours plus

petit qu'un nombre fixe, déterminé ; dans cette hypothèse, y^

a, en général^ une limite ; c'est cette limite qui constitue la vraie valeur de y, pour x=iXo.

Par exemple : la fonction

dans laquelle nous supposons a > i , prend pour x =r q» la

forme — , qui est dénuée d*un sens précis ; c'est donc une

expression indéterminée. Pourtant y a une valeur bien déterminée^ pour a; = (x>, puisque nous avons montré {$ 245) que y croissait indéfiniment en même temps que x. Prenons encore la fonction

y a une valeur bien déterminée pour toutes les valeurs positives de Xy mais pour xzi i,y prend la forme - à laquelle ne

correspond aucune opération précise ; c'est encore une exprès* sion indéterminée. Pour trouver la vraie valeur de y, posons

on a

ou

Si X tend vers Tunité, X croit au delà de toute limite^ et ( t -f- - j a pour limite e. On a donc finalement

limy n i, pour x — i.

Nous allons indiquer comment, dans un grand nombre de cas, on peut résoudre une indétermination donnée.