tedétennliiatioii dans le ema des ffonettoiis

entières. Soit y:^:^^ U et V désignant des fonctions entières

de X. La valeur de y est indéterminée dans le cas où Ton a pour a: — a?o, Uo = o et V^ r: o ; et dans ce cas seulement. Puisque U et V s'annulent pour x rz Xo, on a

U = (a: - a;o)'*R V s (a: - Xo)%

R et S étant des fonctions entières. On doit distinguer trois cas suivant que Ton suppose

P>Qf P<Qy ou p:=:q.

Dans le premier cas la vraie valeur cherchée yo est égale à zéro ; elle est infinie dans le second cas ; enfin si p est égal à 9, on a

Ro 2/0 = :^-

389. Ré0çle de rildpltol. Les expressions indéterminées de la forme - peuvent se résoudre, le plus souvent, au moyen

de la règle suivante : lorsqu'on a f[x^ := o. et (^ (x^) zz o, la vraie valeur, pour x — x^, de la fonction y, fonction déterminée par V égalité

fix) est égale à celle de la fraction

Cet énoncé constitue la règle de l'Hôpital, et cette règle

est la conséquence immédiate de Tidentité, précédemment démontrée (§ 298),

Supposons d'abord que Xo ait une valeur finie et remplaçons dans cette identité x par Xo- Puisqu'on suppose f(xo) := o et ? (xo) =: « ; on a

o{x,+h)''^^'{Xo + ^h)

Remarquons d'ailleurs que cette égalité a lieu quelque soit h; supposons donc que h varie et tende vers zéro, les deux fractions

9(a;o + //)' 9' (x„ 4-6/1) ont constamment la même valeur; pour A no, la limîle de

— — : est donc égale à celle de -rz — :

Considérons maintenant le cas où x^ a une valeur infinie. On doit remarquer qu'il est nécessaire d'examiner ce cas particulier parce que la formule (1), qui sert de base à la démonstration précédente, ne peut ëtrd employée quand on suppose

OTo = «.

Nous allons montrer que la règle de THÔpital subsiste néanmoins, dans le cas où la valeur donnée à la variable est infinie.

Posons

on a

On Ipent alors considérer y comme un quotient de deux fonctions de X et, pour X = o, y prend la forme indétermî-

née- . On peut donc appliquer à l'expression — — la règle de

rilôpital et prendre le rapport des dérivées des deux fonctions ^(x)'^(x) P^^^^PP^^' ^ ^- P^^^ prendre ces dérivées il iaut observer que l'on peut considérer que fi-^) comme une

fonction de fonction. Il suffit de poser ~ = t^ ; la dérivée de /'f^l,parrapportàX,estalorsu'/^,(w);ou,— -^/'^'f- U^

même motif, la dérivée du dénominateur ^sl — rri 9 M ç: )• Le

rapport de ces deux dérivées est donc égal à]

pour X =: o. Si Ton remarque enfin que a: =r — , on voit que la

vraie valeur de Texpres? ion indéterminée proposée est égale

a celle du rapport -^ — , pour x zz ».

La règle de THôpital est donc exacte pour toutes les valeurs de j?, sans excepter la valeur infinie.