Les conchoïde». — Construction de la tangente

Soit A une courbe donnée et soitO un point fixe; ayant choisi sur A un point M-, de part et d autre de ce point, sur le rayon vecteur OM, on prend MI zzMV zzh, h désignant une longueur fixe donnée ; à chaque point M correspondent deux points I, I'. Le lieu décrit par ces points est une courbe qui est dite une conchotde de la courbe donnée A.

Si Ton désigne par f{ç> , (i>) :=. o, l'équation polaire de A, celle de la conchoîde est donc :

COURBES CÉLÈBRES

Nous indiquerons d'abord comment on peut construire la tangente en un point pris sur une concholde. Du point o comme centre, avec h pour rayon, décrivons un cercle et considérons deux points voisins sur A. Le théorème des transversales réciproques prouve qu'en prenant Mjji.' = Mix, la droite ;jl'P est la tangente au point V. Ce même théorème, appliqué au point I, montre que si l'on construit le parallèle- ^mme ;iAIB, la tangente au point I, à la conchoïde, est parallèle à la diagonale AB de ce parallélogramme.

5i&. C^ncholdes de droite ou eonchoide de Micomitée. Examinons le cas particulier où Ton transforme une droite, par la méthode précédente. Le pôle, ou point fixe, étant 0, A étant la droite proposée, et les axes étant ceux qu'indique la figure

on a.

C'est réquation polaire de la conchoïde de Nicomède.

Si Ton convertit cette équation dans le système cartésien, OD trouve :

^ " {x — df

DEUXIÈME ET TROISfftME LEÇONS

Les figures ci-dessous :

ac>'

montrent les différentes formes affectées pnr la conchoïde do Nicomède, suivant que Ton suppose :

h<id, hzzd, ou h>d.

9G. tl^nchoide de (N^rele on Umaçon de Paseal.

Considérons encore la conchoïde du cercle. On a :

OM -=. d cos (I) et, par conséquent,

p := rf cos w i ^ • L'équation cartésienne est :

{x' -+. y* ~ dx)' = V (X* -^- !/•).

La discussion de cette équation ou même, et plus simplement, la propriété géométrique des points I et V, montre que la conchoïde du cercle peut affecter les trois formes ci-dessous.

Kig. io. Fig. ai FIg. 22

Le cas particulier où Ton suppose hizd^ celui qui correspond à la figure (ai), donne un limaçon d'un genre remarquable, présentant à Torigine un point singulier, que nous nommerons plus tard point de rebroussemenl. Cette coufbe est la cardioide.

œURBES CÉLÈBRES

99. Ovales de Cassinl. L'ovale de Cassini esl une courbe qui jouit de celle propriété que le produit des distances d'un point pris sur elle, à deux points fixes^ dits foyers de la courbe, est constant, quelque soit le point de Tovale.

Dans le système bipolaire, F, F' étant les foyers, K et K les coordonnées d'un point I de la courbe, et a désignant une constante, l'équation est :

a* zz rr'.

Si Ton prend pour axe des x la ligne des foyers et pour axj des ^ une perpendiculaire à celte droite, en son milieu 0, en posant FF' zz 2c, on a :

d où Ton tire,

a* — {y* -hx* + c' — iLCx) {y' -h x^ -h c' + 2cx). C'est réquation cartésienne des ovales de Cassini. Enfin, si Ton pose 01 r: p, et IOj: iz w, on a :

r* zz c' + p' H- 2cp cos oj,

d'où l'on déduit :

p* — 2pV cos 20) -h c* — a* — o.

Celle équation polaire des ovales de Cassini met en évidence un cas singulier remai-quable, celui où l'on suppose azzc.

DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS

Dans celte hypolhèse, réquaiion peut être simplifiée^ et Ton a :

Cette courbe est la Lemniscate de Bernoulli; nous reviendrons tout à l'heure sur une génération particulière qu'elle comporte.

^H. Tang^enteaux ovales. Considérons deux points 1, I % sur un ovale de Cassini ; nous avons, d'après la définition

mémo,

FI . FI = FI' . F'i

De cette relation, nous déduisons :

fif

FJ'^F'i*

Les bissectrices des angles IFI', IF'I' coupent donc H', en des points A, A' symétriques, par rapport au milieu de IW Cette remarque s'applique aux droites FB, FB' qui sont perpendiculaires, respectivement, à FA et FA'.

Ife'. 2.|.

Imaginons maintenant que le point V vienne se confondre avec le point l ; les droites FA, F'A' ont pour position limite, l'une FI, l'autre F'I. D'après cette remarque la tangente à l'ovale de Cassini, au point l, s'obtient en menant par I,

COURBES CÉLÈBRES

une droite partagée en deux parties égales par les perpendiculaires élevées : la première au point F, perpendiculairement à FI ; l'autre au point F', perpendiculairement

^9. E.eniiiiseate de Bemoulli. Nous indiquerons mainlenant une nouvelle génération de cette courbe remarquable, génération à laquelle nous avons fait allusion tout à Theure.

Imaginons un cercle A et un point extérieur 0, point tellement choisi que les tangentes issues de 0 à A soient rectangulaires. Menons par 0 une transversale quelconque OCD et prenons Oï r= OV zi CD ; le lieu du point I, et celui du point V. eslune lemniscate de BernouUi.

Fig. 25.

Eu effet soit F le centre du cercle A ; abaissons de F une perpendiculaire FP sur A ; nous avons

— — — Ôl^* — np*

CI»' = œ — Vr HZ- OF^ sin* 0) =: — ces iw,

ou, en posant OF zz c, et en remarquant que GP zz '\

p* zzac^cos 2tt).

C'est réqualion que nous avons trouvée plus haut, pour la lemniscate de BernouUi.

DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS

Le théorème des transversales réciproques, prouve que^ en menant les tangentes en C et D, à A, et en prenant D[i/= Dix, [jl'I est la tangente, à la lemniscate, au point I.

80. Ovales de Oeseartes. Ces courbes sont définies^ dans le système bipolaire^ par une relation du premier degré entre les coordonnées r, r'. Les ovales de Descartes ont donc pour équation, dans ce système de coordonnées,

On doit à Chasles une description, point par point, de ces courbes. Soient A et A' deux cercles de centres 0, O' et soit pris, sur celte ligne, un point S : par ce point menons une transversale quelconque SA 'A ; les rayons OA, OA' se coupent en un point I qui décrit un ovale de Desoarles, quand la transversale tourne autour de S.

Fig. 26.

£n effet, le tliéorème de Ménélaûs donne