K • IC
.-ZZZi.
COURBES CÉLÈBRES
Cette relation peut s'écrire encore,
ar' — r— aR'— R.
Le lieu du point I est donc un ovale de Descartes. On remarquera que dans le cas particulier où a = i, quand le point fixe considéré est le centre de similitude externe des deux cercles, l'ovale devient une hyperbole : on obtient une ellipse en plaçant le point S au centre de similitude interne.
31. Les P€»daires. Considérons une courbe quelconque F, et, d'un point fixe 0, abaissons une perpendiculaire 01, sur une tangente A, de F. Le lieu de ce point I, quand A roule sur la courbe proposée F, est une podaire de cette courbe.
\a Fig. 2:.
Pour citer un exemple d'une pareille courbe, on peut remarquer que la podaire d'un cercle^ par rapport à un point quelconque 0, pris dans son plan, est un limaçon de Pascal. Ce limaçon devient une cardioïde dans le cas particulier où Ton suppose que le point 0 est placé sur le cercle.
La tangente en un point d'une podaire se construit très simplement, en utilisant la remarque suivante.
Considérons deux tangentes A, A% à la courbe F, et soient I et r les pieds des perpendiculaires abaissées du point 0 sur ces droites que nous supposons sécantes. Soit M leur
Dk L. Tomk II. -^
34 DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇOiNS
point commun ; le quadrilatère OMir est inscriptible et le centre du cercle circonscrit à ce quadrilatère est le milieu de OM. La perpendiculaire HK élevée au milieu de la corde II' passe donc par le point K, milieu de OM.
Supposons maintenant que A' vienne se confondre avec A, le point M a pour position limite le point de contact [l, de A avec F; le point K a pour limite le point K'^ milieu de 0;jl ; enfin la droite KH, a pour limite K'I. Nous pouvons conclure de là que la tangente au point I» à la podaire, est la droite AB, droite qui fait, avec le rayon vecteur 01, un angle égal à celui que Ofii fait avec A.
39. Lieux g^éométriqaes; méthode do paramétre variable. Dans un grand nombre de cas une figure de géométrie dépend d'un paramètre variable a (angle ou longueur) et si Ton distingue, dans cette figure, un point particulier I, ce point I est mobile quand on fait varier a ; on peut alors demander le lieu géométrique décrit par ce point.
Ayant choisi des axes des coordonnées, si l'on appelle Xy y les coordonnées de 1, dans ce système, on peut remarquer que X et y sont déterminés, quand on connaît a; il existe donc deux relations, entre les constantes données et les quantités X, y et a. Désignons ces relations par :
Diaprés ce qui a été dit plus haut {$ 7), Téquation du lieu décrit par le point I s'obtiendra en éliminant a entre (i) et (a). Tel est, en quelques mots, le principe de cette méthode qui est fréquemment employée dans la géométrie analytique. Nous ferons encore observer que cette méthode est susceptible d'une généralisation à laquelle nous aurons souvent recours. Cette généralisation consiste à introduire deux paramètres variables a , 6 ; il faut alors établir, entre eux et les coordonnées du point I, trois relations :
COURBES CÉLÈBRES
Si l'on a trois paramètres variables, ils devront être liés aux coordonnées x et y, par quatre équations, et ainsi de
suite.
!. AppUeation. On considère deux points fixes A,A^ sUués sur une perpendictUaire à une droite donnée A; soit M un point mobile sur A, on demande le lieu décrit par le point de concours de A'M et de la perpendiculaire élevée à AM, au point A.
La figure proposée est déterminée quand on donne a; appelons x ei y les coordonnées du point dont on cherche la figure géométrique. En posant OA = OA' z: a; et AP = c?, nous avons :
(i) y = (a — a;) cotg a,
el,
MPzirflga,
y g-f-g MP""2a-l-d'
if
Fig. j8.
aa + rf
tga.
36 DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS
Si, [[entre (i) et (2), nous éliminons a, nous avons l'équation :
Le lieu cherché est donc une ellipse; nous reviendrons, plus tard, sur cette génération remarquable de Tellipse; nous avons seulement voulu montrer ici, sur un exemple très simple, une application de la méthode indiquée dans le paragraphe précédent ; méthode élémentaire, qui permet de trouver de nombreux lieux géométriques, en appliquant les seuls principes établis jusqu'ici.
f . On donne une parabole P dont le sommet est le point 0, et Vaxe, la droite ox ; soit M un point mobile sur P, on joint CM et par M on mène une parallèle à ox. Cette dernière droite rencontre la perpendiculaire élevée à CM, au point 0, en un point I dont on demande le lieu géométrique.
Oa trouTe, soit par la méthode du paramètre variable, soit par des considérations géométriques prenant pour base la relation y* = *2pXy que le lieu du point I est la droite xz^-^sp. Ou peut déduire de là un procédé commode pour construire la -parabole, point par point, au moyen d'une équerre, connaissant i° le sommet, a" Taxe, S"" un point de la courbe.
8j La droite mM, limitée aux points met M est vue sous un angle droit du point A et du point A', trouver le lieu décrit par le point M, connaissant celui du point mobile m.
En prenant pour axe des x la droite AA', et pour axe des y la perpendiculaire au milieu de AA', on trouve pour formules de transformation :
x + Xzzo, —Yy-ho;' -d*;
ùd désignant la distance AA'.
8. On considère un cercle et un diamètre fixe AB ; soit CD un diamètre mobile: du point C on abaisse sur AB une perpendiculaire qui rencontre KM en un point I. Démontrer que le lieu de ce point est une cbisoïde.
4. Soit ÀB un diamètre fixe d'un cercle A, et soit CD une corde mobile, perpendiculaire à AB ; prenons le point C diamétralement opposé au point C, la droite C'A rencontre CD en un point I; lé lieu de ce point est une c'ssoîde.
5. On donne un cercle A et une tangente fixe A' ; soit A*' ww tangente mobile rencontrant A au poin^ A, et A' au jD:>tn< B ; si l'on prend BI =: BA, le lieu du point I est une cissoide,
•. Le lieu des foyers des paraboles ayant un sommet fixe et passant par un point fixe est une cissoïde,
V. Un cercle de rayon invariable roule sur une droite donnée A; par un point 0, fixe et pris sur A, on mène au cercle une tangente; le lieu des points de contact est une strophoïde.
8. Darti un cercle A, on considère un rayon fixe OA et un rayon mobile OB ; démontrer que le lieu du point de rencontre des hauteurs du triangle AOB, est une strophoïde,
9. Soit A un point fixe pris sur un cercle A et soit A' la tangente au point A', diamétralement opposé au point A ; par A on mène une transversale qui rencontre A en B, et A' en C : démontrer que si ton prend 31 =: CB, le lieu de I est une strophoïde.
10. Sur un cercle A» on prend un point fixe A; un angle droit BOC ifmme autour du centre^ on joint A. et B ; la droite ainsi obtenue rencontre OC en un point qui appartient constamment à une strophoïde.
1*. Soit A un point fixe pris sur une courbe du centre 0 ; par A ou mène une corde mobile AB : la perpendiculaire élevée au rayon OB, au point 0, rencontre AB en un point, dont le lieu géométrique est une sirO' phoïde.
1*. On considère un angle droit yox et sur oy un point fixe A ; on mène par A une transversale A qui rencontre ox en h; trouver le lieu décrit par le point I, pris sur A, et tellement choisi que ton ait Al = OB.
La coarbe que Ton trouve est la courbe de contour apparent dans Tépure de la vis à filets triangulaires. (V. Puncelet. Applications de l'analyse à la géométrie, t. l ; p. 447') Si l'on prend BP = lA, le lieu du point I' est uue strophoïde ; la méthode des transversales réciproques permet de construire la tangente au point l', à la strophoïde ; cette méthode s'applique donc aussi à la courbe proposée.
i3. Le lieu des points tels que les rapports de leurs distances à deux circonférences soit constant, est un ovale de Descartes, (Newton)
f 4. Démontrer que les tangentes aux points X, k' (flg. 36), et les tangentes au point T, à l'ovale de Descartes, sont des droites concourantes.
(Chasles)
