XY) - ?, (X,Y

on a

cl,

4L11. Détermination des Asymptotes. Pour bien préciser cetle détermination, nous devons faire remarquer que les formules les plus générales qui puissent définir une courbe unicursale F sont :

P et Q, d'une part; H et S, d'autre part; étant des polynômes

entiers en /, premiers entre eux. Les formules que nous

avons employées plus haut rentrent dans celles-ci, quand on

P R réduit les fractions 7: , t > au plus petit dénominateur com-

mun D, et Tordre de Tunicursale P est alors le degré le plus élevé des trois fonctions :

P^. Rf.elD.

De L. Tomb II. 3;^

538 TRENTË-NEUViÈME LEÇON

Un point peut s^éloigner à Tinfini, sur F, dans Tune oa Fautre des hypothèses suivantes :

i« X devient infini, y restant fini, a<* y devient infini, x restant fini, 30 y et a; deviennent, simultanément, infinis.

Désignons par A le plus grand commun diviseur des polynômes Q et S, et posons :

Q = Q'A, S = S'A; nous avons, alors,

Les points qui s'éloignent à Tinfini, dans la direction ox, sont ceux qui correspondent aux valeurs de t qui sont racines réelles de Téquation Q' = 0. De même, les racines réelles de réquation S' = 0, donnent les asymptotes parallèles à oy. Enfin, une valeur de ty (^ = /') annulant A, donne une direction asymptotique qui, en général, n*est parallèle, ni à 0x9 ni à oy ; et, pour la déterminer, il suffît de remarquer que Ton a

a;"" PS' On cherche la valeur de — , pour lz=,l'\ puis, en désignant

celte valeur par [x, on détermine la valeur de y — [ju;, pour

L'expression y — iju; se présente, ordinairement, sous la forme d*un rapport de deux fonctions entières de /, qui s'annulent évidemment pour ^ = /' ; et, pour avoir la valeur de y — \i^, on doit, d'abord, diviser haut et bas les deux termes du rapport par {l — t').

Ajoutons enfin que, dans certains cas, un point de la courbe peut s'éloigner à Tinfini quand t prend une valeur iDfiDie. On devra donc examiner avec attention ces différentes hypothèses pour lesquelles un point d'une unicursale s^éloigae indéfiniment.

LES UN1CUR8ALES oo9

419. Détorminatton des pointe multiples. Pour que le mobile qui décrit Tunicursale et dont les coordonnées se calculent au moyen des formules :

formules dans lesquelles t désigne une variable indépendante prenant toutes les valeurs possibles entre — qd et -[- <3e>, il est nécessaire et suffisant que pour des valeurs différentes de t et de 6, on puisse avoir :

Ces équations débarrassées de la solution évidente t zz 0, donnent les valeurs cherchées.

41 8. Déterminaiioii des pointe d'inflexion. Soit :

«vC -}- 6y + C2 — o,

l'équation de la tangente inflexionneile A ; cette droite A doit avoir, avec Tunicursale considérée, des points communs parmi lesquels trois coïncident avec un certain point M. Si M est un point simple, A est une tangente inflexionneile. L^équation

a donc une racine triple. Cette équation, d'une part ; les sui* vantes, d'autre part,

ar (0 + ^?' W -^ c^' (0 = «.

ar W 4- ftf ' (0 H- c^' (0 = o,

déterminent les points d'inflexion et les tangentes inflexionnelles. On peut remarquer que les valeurs de l qui corres* pondent aux points d'inflexion sont racines de Téquation

— Oi

41141. Application A an exemple. Proposons-nous de conslruire la cubique U qui correspond aux équations

(A) x = ^rzr:^ y^ir:-,'

Les valeurs remarquables de /, c'esl-à-dire celles qui annulent, soit le numérateur, soit le dénominateur, de x ou de y y sont :

1° Asymptotes. L'examen des formules (A) prouve qu*un point de U ne peut s'éloigner à l'infini que pour / = i. On a. d'ailleurs,

Pour / =1 1 , on trouve que le coefficient angulaire de Tasj'mplole est égal à i. Cherchons la limile de y — a:, pour < - 1. Nous avons.

Ainsi, pour t:=ii,y — x a pour valeur zéro ; Tasymplote réelle de U est la première bissectrice, i** Points d'inflexion. Soit

ax -h by — 1 ;z 0,

l'équation d'une tangente inflexionnelle à U. On doit avoir :

al^ 4- 6 (2/ — i) — ^' -h 1 = o,

2at + 20 — M* — . o,

En éliminant a et ô entre ces trois équations on trouve

LES UNICURSALES r>6l

Celte équation admet pour / une seule racine réelle, comprise entre- et 2.

3" Points limites. Cherchons les points où la tangente est parallèle : soit à ox, soit à 01/, Le coefficient angulaire y' , d'une tangente, est égal à

Il y a une tangente parallèle koi/; 1° pour / = 0 ; 2^ pour

/ =: V — 2 ; et une tangente parallèle kox; 1* pour / .-rdr œ,

2** pour une valeur de t comprise entre V — ^ ^l »• 4® Point double. Cherchons à résoudre les équations

La première donne, après simplification,

D'autre part, en considérant Téquation

on a, après avoir divisé par ^ — 0,

(2) 2/Or:f-hO.

Les équations (1) et (2) donnent :

rt n — 2, et ^ -h 0 = — 4.

Ainsi, / et 0 sont racines de Téquation :

T* -H 4' — 2 zi o.

Le point double correspond donc à la valeur — 2--v/^, ou à la valeur — 24-^/6, attribuée à /.

En résumant ces résultats divers, le tracé de la courbe U qui est une cubique à nœud, est conforme, dans son aspect général, à celui qu'indique la figure ci-dessous.

Fig. 173.

EXERCI0E8

i . Répandre à Vobjeciion suivante :

On considère Vunicuntale U qui correspond aux formules :

on change de variable, en posant : '

< = F (ft)

F étant du degré K, par rapport à 0. Les formules (A) qui étaient du degré p, par rapport à t, deviennent du degré Kp, par rapport à^. Le rmsonnement qui a été fait (§ 4o5) pour établir le degré de runieursale indiquerait donc une courbe du degré p, et aussi une courbe du degré Kp; ce qui implique contradiction?

On montrera qu*en faisant varier 0, on tracera K fois la courbe U.

Z. Une conique y étanf considérée comme unicuvsale et correxponffant ttUT formules :

a+bl-h Cl* a' + h'I 4- c7"

déterminer ses foyers.

i'» méthode. On forme la quantité

et on exprime que c'est un carré parfait. On obtient deux relations entre X' et y' et leur résolution conduit à une équation du quatrième degré. Mais on peut toujours résoudre cette équation parce que, comme nous I avons montré, le problème en question est quadratique.

2« méthode. On prend l'équation

y zz mx + «,

et on exprime qne la droite qui lui correspond est tangente à y. On considère alors un foyer comme un point tel que les coefReients angiiluires des tangentes issues de ce point sont -^ i et — 7.

Application. Soit

On trouve :

!• foyers réels,

0?, — o 2^* foyers imaginaires.

3. On donne une courbe U, dont Céifuation^ rapportée aux axes reclangulaires oa?, oy'est:

f(x,y)zzo.

Soit m un point mobile sur U ; on joint OM et, à cette droite, au point m, on élève une perpendiculaire qui rencontre ox en A. On fait tourner la droite mK, autour de m, dans le sens direct jusgu*à ce gu*elle vienne se rattattre sur om; soit M la nouvelle position du point X,

io Trouver Ciquation de la courbe \, lieu des points M.

2" Appliquer les formules de transformation au cas particulier où U est une droite.

3"* La transformée d'une droite étant une hyperbole, dont les asymptotes se déterminent facilement, déduire de cette remarque une construction simple de la tangente au point M, à la courbe transformée V.

4* Examiner le cas particulier oit U est une hyperbole équilatére^ ayant pour asymptotes ox et oy, et montrer que la transformée est une quartique unicursale,

S*» Démontrer^ d^une façon générale, que si U est une courbe unicursale, la transformée V est aussi une unicursale,

i<* Ea désignant par x,y les coordonnées de m ; par X, Y celles de M: on a :

,k. X' XY

(A) X = TT—Tr' y =

et,

(B) X=x+y, Y^l^ii±ii.\

9® A la droite A qui a pour équation

correspond une hyperbole H', dont l'équation est

3« L'équation précédente pouvant s'écrire sous la forme :

les asymptotes sont mises ainsi en évidence.

A la tangente A en m, à U, correspond une hyperbole H, tangente à V, au point M. La tangente à V, en ce point, est donc confondue arec la tangente à H ; droite que Ton construit en menant par M une droite partagée en deux parties égales par ce point et par les asymptotes de H.

{0 En prenant l'éqnation :

xy = m\

on trouve, pour la transformée,

''Nt

(i) X'Y=:m*(X + Y) En posant :

on Toit que la qaartique (i) est unienrsale.

5° Celte dernière proposition est la conséquence évidente des formules (B).

4. ConHruire les unicursales qui corTe$pondenl aux formules :

X ZZ — ^—, i X -=.

La première courbe est une quartique formée de trois branches hyperboliques dont l'une est aplatie et du premier genre. Elle présente un point

d'inflexion & Torigine et un point limite pour / = — -.

L*autre est une cubique, ayant un point double isoTé, & l'infini, dans la direction de la seconde bissectrice ; elle a la forme d*une branche serpentine tangente à Torigine à l'axe des y et ayant pour asymptote la droite qui correspond à l'équation v ^ aj; =: o.

Les équations cartésienne? de ces courbes sont, respectivement,