Construire la courbe gui correspond aux formules

(École Polytechnique. 1878.)

Celte cubique est formée de trois branches hyperboliques dont l'une est une branche aplatie du second genre. Son équation cartésienne est :

x{y + xY + 'xiy — x)-!! o.

Elle admet quatre points limites, points pour lesquels les tangentes sont parallèlea à ot et les points de contact correspondent aux racines de i*^quation

Les asymptotes sont : i** Taxe des y^ a» deux parallèles & la seconde bissectrice et coupant les axes à une distance -{- 3» ou — ^i ^^ l'origine.

•• Expliquer comment on peut reconnaître que, dans une unicursale, ta point M, dont les coordonnées (x» , y'} correspondent à la valeur V du patHimètre variable, est un centre de la courbe.

Vérifier: i° que le point (o, — i) est un centre de la cubique unicursale qui est définie par les formelles :

^ = 7-rr*' y =

a" Que le point (o, -f- 1) est le cen re de la courbe qui correspond ata équations :

T. Démontrer que si une courbe est définie par les fonmdes :

l'aire S du trapèze curviligne formé par un arc de la courbe, Vare des j, et les deux ordonnées qui correspondent aux extrémités de Carc eonsiééré* vérifie la formule :

sinO '

s. TfHmvei* l'aire dun segment hyperbolique. On prend Téquation de Thyperbole sous la forme

et on pose

En appliquant le principe de l'exercice précédent en trouve 1 ^ a'ft' (la® 1 —a»

(formules générales)

411 &. Éqmitioii delà droite. Considérons une droite 1, et soit ox Taxe polaire. Si nous désignons par h la distance de Porigine à A, le triangle OMH nous donne la relation

h zzp cos (a — (â)).

Fig. 174.

C'est réquation polaire de la droite. On remarque qu'elle peut s'écrire sous la forme :

t^cosco -f-t? sinwz: -.

Réciproquement^ toute équation de cette forme représente

une droite. En effet, en la transformant en coordonnées cartésiennes on a :

tix -f-vyzz i.

Il faut pourtant observer que les droites passant par Tongine ont, dans le système polaire, pour équation :

bizzoï, ou IgwnK.

41 B. Droites passant par deox points. Soient p^, u, ; p., ci)j ; les coordonnées des points donnés. L'équation de cette droite, en supposant w, — w, ;rf o, est

- zr M cos 0) 4- 1? sin 0), P

et Ton a, par conséquent,

— =r tt cos 0), -\-v sin W| , pi

— =: w cos ci),H- vsm (I),.

Ces trois égalités donnent^ entre les coordonnées courantes (p, «t)) d'un point de la droite proposée, la relation

— cos <i) sin (i)

— cos Cl), sin Cl)

— cos Cl), sm CD,

ir o.

41 V* Équation i^énéraie des tangentes. Soit /'(p,co) iro réquation d'une courbe U, en coordonnées polaires. Prenons sur U un point M^, (p,, (ù^) et joignons M, à un second point *^'t (Pt» ^y) voisin de M„ sur la courbe. La droite M,M, a pour

équalion (D), et celle-ci peut s'écrire sous la forme :

COSO)

Pi 1 1

COSfa)

sin (i>

smo).

p, p, cos Wj — cos (.), sin (I), — sm w,

En supposant que co, varie et tende vers u),, cette relation devient^ à la limite,

cos iù sin (i)

cos (i>j m (0,

sni (i)j cos (i)|

£n développant ce détermii. at on a, finalement,

— ) sin(a) — Cl),).

Dans celle équalion, ( — ) désigne les dérivées de la fonction-quand on y a remplacé les coordonnées courantes

p, w, par les coordonnées particulières p,,Wi, du point considéré.

4118. Équation de rasymptote. Lorsque le point (p,, w,) s'éloigne à Tinfini, dans une direction déterminée, on a :

iim pj iz 06, et liui o)^ =i a

L'équatioa de Tasymptote est donc

-= (- ) sin («II — a).

p \pa/

Dans cette relation, ( — ) désigne la dérivée de ^ quand

on y remplace : —, par o ; et <i>, par a. Nous reviendrons, tout

à rheure (§ 437) sur la discussion que comporte cette équation.

419. Éqaatioii des ooniqaes. Nous avons déjà montré (§ 3^9)9 que réquation polaire de Tellipse était

P (C) - = I — c cos w.

Nous rappelons que Torigine choisie est le foyer de gauche et que la direction positive de Taxe polaire est celle du mobile qui se dirige, du foyer pris pour origine, vers le second /oyer.

L^équation précédente peut représenter les trois genres de coniques ; c'est ce que nous allons établir.

Fig. i:ô.

Considérons d'abord une hyperbole ; prenons pour origine le point F, foyer de droite ; et pour direction négative de Taxe polaire celle du mobile allant, du foyer considéré, à Tautre

LES COORDONNEES POLAIRES 571

foyer F'. Soit A la directrice qui correspond au foyer F ; ayant pris un point M sur Thyperbole on a :

, , MF c

e désignant Texcentricité.

D'autre part, on a, par une propriété connue,

et^ par suite.

FH = c = -.

La relation (i) peut donc èlre écrite :

— h P cos (i)

d'où Ton tire

i COS (I)

OU, enfin.

Il est facile de vérifier qu'en faisant varier code o à az, cette équation donne les deux branches H, H' de l'hyperbole.

Prenons en effet un point M' sur la seconde branche H'. Nous avons, encore,

zze, ou

M'F cos lù'

Le point M' correspond à une valeur w' dé ci, valeur comprise enlre o et a, 22 désignant Tangle formé par les deux semi-asymptotes qui comprennent une branche de Thyperbole. Si nous désignons par p', la coordonnée p du point H', p' est une valeur négative et nous devons poser M'F = — p'. La relation précédente s'écrit donc :

ou,

'cos w'

ecosci)'

On retrouve ainsi Téquation précédemment obtenue. En poursuivant cette discussion, on voit que : le bras 1 est engendré par la variation de tù entre 0 et a ; les bras a et 3 quand (1) prend les valeurs comprises entre a et 21: — a ; enfin le bras 4 quand on fait varier w entre ar — a et ai:.

En prenant le foyer de la parabole pour origine et pour direction négative de Taxe polaire celle du mobile qui se dirige du foyer vers le sommet delà courbe, Téquation de la courbe est

- Zl l — COS (1).

Il suffit, pour robtenir, d^exprimer que tout point de la courbe est situé à égale distance du foyer et de la directrice.

En résumé, les conventions relatives à Torigine et à la direction positive, ou négative, de Taxe polaire étant celles qui ont été formulées plus haut, on peut dire que Véquatùm

— = 1 — e COS w

représente, dans ce système cPaxeSy Véqvxition générale des coniques.

Les coordonnées polaires 573

4WO. Équation f^énérale des toof^entes aax eo^ ■iqnes. Cherchons, d'après (C), Téquation générale des tangentes aux coniques. Nous avons^ d*abord,

l -j zz esm w.

L'équation (T) est, alors,

"" = (* — ccosu>,)cos(û) — (i),)-hcsinw, sin(o) — w,),

ou,

— rr cos(ci> — W|) — e \ cos w, cos (w — w,) — esin W| sin((i) — w,) | ,

ou, enfin,

(T') — =:co8(o) — (I),)— ccosu).