JU

OT = — cos ci)| — ( — ) sin w, , Pi Vpi/

Pi P'

01 Pj

D'autre part, le triangle OMT donne

" p. • OT

sin (V + w,) sin V' ou,

(a) ^ z= cos 0), -h cotg V sin (1)4.

La comparaison des résultats (1) et (a) conduit à la formule cherchée :

(A) tgV-^.

4193. Remarque. Le plus souvent, dans le système des coordonnées polaires^ Téquation de la courbe est donnée sous la forme :

La formule (A) que nous venons de trouver peut aussi s'écrire :

cotg V

ou,

On a donc,

cotg V = ■— ,

Cette nouvelle forme est commode dans un grand nombre de cas, et la remarque que nous voulions faire peut se résumer ainsi : la colangente de Vangle V est égale, et de signe

contraire i à la dérivée logarithmique de Ut fonction *-.

41594. Éqwatien de la normale. Soit HN la normale

(flg. 176); on a ON = p, cos V. L'équation de MN est donc

p, cos V z= p cos (V + (i)| — w) ; ou,

— cos V = cos V cos (d), — Cl)) — sin V sin (wi — w),

ou encore,

i i / X tgV . , .

- zz — cos (wj — (I)) — -^— sm (câ)4 — u))»

P Pi Pi

En appliquant la formule précédetitOi il Vient

(N) - = - cos (eu— W|) -h -7 sin (w^ ii),)* P Pi Pi

495. Sous-taoK^ente et sous-normale. La perpendilaire élevée au rayon vecteur OM, au point 0, rencontre la tangente en A et la normale en B. Dans le système des coordonnées polaires, OA s'appelle la sous-iangente ; OB est la somnormale.

Fig. 177.

La sous-tangente est positive lorsqu'elle est placée à la droite de l'observateur qui, du point 0, regarde rextrémiléM du rayon, vecteur. Au contraire, la sous-normale est positive quand elle est placée à la gauche de cet observateur.

Les triangles OMA, 0MB donnent :

OA = p, tgV, OB = p, cotgV; En désignant la sous-normale par S^, la sous-tangente par

S^, on a donc :

S^z=OA=p.^ = -

et,

ijf

s„ = oa = p.^ = p:

4Lf^B. Applieation aux spirales. — fl« S(pirale iTAr* chiméde. Cette courbe correspond à l'équation :

(A) p=ra(i>.

C'est une équation transcendante et nous devons expliquer

d'abord comment on peut imaginer une construction^ point par point, de cette courbe.

Dans un cercle de rayon R, on fait un angle au centre égal à (*> et l'on considère Tare intercepté par les côtés de cet angle. Soit Q la longueur de cet arc.

Pour obtenir le point correspondant de la spirale, on fait tourner, autour de l'origine, la semi-droite ox d'un angle d), dans le sens positif ; et, sur cette droite, à partir du point 0, on prend une longueur qui est une quatrième proportionnelle aux lignes a, û, R.

Dans les courbes polaires transcendantes, pour obtenir toute la courbe j on doit faire varier iù de — » à -f- ».

La spirale d'Archimède a la forme indiquée par la figure ci-dessus ; elle jouit de cette propriété que la sous-normale est constante. On a, en effet, S„ =: a.

ft^ S(pirale loK^ariCliiiilqae. Cette courbe correspond à réquation

(B) p = Ka" .

On a, dans cet exemple.

lgV±

La'

S7g QUARANTI^B ET QUARANTE ET UNIÈME LEÇONS

on peut donc dire que dans la spirale logarithmique tovs les rayons vecteurs qui partent du pôle coupent la courbe sous le même angle.

Fig. 179.

Lorsque cet angle est égal à 90^, on a La =: o^ ou a = 1 ; et, par suite p =r K. Le cercle est donc un cas particulier des spirales logarithmiques.

8* Spirale hyperbolique. L^équation de la spirale kyperbolique est

et Ton voit ainsi que cette spirale Jouit de la propriété d'avoir une sous-tangente constante, L*axe polaire est une direction asymptotique; la courbe qui a la forme indiquée par la

On a donc

figure (180) admet une asymptote parallèle à Taxe polaire et correspondant à Téquation

* sin w p a

Fig, 180.

4I« Spirales slnosoldales. Ces courbes ont pour équation, .

(D) mp*" zz a** sin tww .

Cette égalité . représente > pour des valeurs particulières de m, des courbes que nous avons déjà rencontrées. . . «

Ainsi, on vérifie facilement que si m zz -, la courbe (D) est

une cardioïde dont le cercle générateur a un rayon égal à a.

En supposant tn = 2, on obtient une lemniscate^ dont les

foyers sont situés à Tintersection de la première bissectrice

et du cercle, concentrique à Torigine, qui a un rayon égal à a.

Les courbes qui correspondent à Téquation D jouissent

d'une propriété remarquable , qui permet de construire très

simplement la tangente en un point pris sur Tune d*elles.

Nous avons, en effet,

et, par suite,

Wip»«-* p' — flW» cOS W(i)

^,=:tgV=: tgwù).

Celle formule donne

V zi mw 4- Kr.

L^angle V, élant Tangle de deux semi-droites, est toujours inférieur à 7, et Ton a, finalement,

On déduit de là, entre autres conséquences, que : dans In cardioîde^ une corde passant par le point double et les tangentes aux extrémités de cette corde forment un triangle rectangle.

^911. Asymptotes. — {Détermination et discussion.) Nous avons trouvé plus haut que Tasymptote qui correspond à une direction asymptotique a, avait pour équation

^^^ p"=(pt) «'»("-«);

mais il nous reste à montrer comment on détermine* les asymptotes, quand Téquation précédente devient une identité. On peut toujours supposer que la courbe considérée carrespond à une équation polaire ayant une forme entière, par rapport à p* Soit

réquation proposée. Elle peut s'écrire encore sous la forme :

et l'on a, par suite, . .

Supposons d'abord que nous n'ayons pas, simultanément «

ç' (a) - o, et /•(«) = o.

Si nous faisons : «or: a, et p = 00, dans la relation précédente, nous avons

ç' (a) - ^i j' nx) zz o.

* L'équalîon de l'asymptote est donc, en supposant /'(a);zfo,

-=:^sin(a) -a),

on,

(A') -/"(a) — 9' (a) sin (w — a) = o.

Dans le cas où Ton a

/^(a) = o,et?'(a);2fo,

réquation de Tasymptote est co = a.

Cette asymptote est une parallèle, menée par Torigine, à la direction asymptotique considérée.

Si Ton suppose :

/(a);;zfo, et (?'(«) = o;

Tasymptote est rejetée à l'infini.

Enfin, il nous reste à examiner le cas que nous avons réservé, celui où nous supposons, simultanément,

41^98. Asymptotes parallèles. Lorsqu'une courbe a des asymptotes parallèles, il peut arriver que l'équation (A) soit identique. Les asymptotes se déteiminent alors comme nous allons l'expliquer.

Posons :

- ir a sin (ci) — a)

P et cherchons à déterminer [l.

A cet effet, changeons de variable et soft

L*équation de la courbe est alors, par application delà formule dç Taylor,

-^jr(a)-+-Ûr(«)4-.,.. j

En tenant compte des hypothèses que nous avons faites, et en divisant par û", cette relation peut s'écrire

Dans la partie qui n'est pas écrite, les termes renferment des facteurs de la forme

H étant une fonction de a, et p, q, r, désignant des nombres entiers, positifs ou nuls, mais ayant une somme supérieure à zéro.

Cette remarque étant faite , observons que Téquation de l'asymptote cherchée peut s'écrire

Par conséquent , si , comme nous le supposons, |a a poor limite une valeur finie, -^ a pareillement pour limite une valeur finie, qui est la même que celle de i*.

En appelant m cette limite, Téquation (i) prouve que Ton a

Cette égalité donne par m des valeurs réelles ou imaginaires, finies ou infinies^ si l'on n*a pas , simultanément :

Nous avons supposé que la limite de -^ était finie. Dans

rhypothèse contraire, on cherchera la limite de pQ et l'on trouvera, pour la déterminer, Téquation (a), après y avoir

changé m en — . Nous pouvons donc dire que (a) donne tou-

jours, la valeur de m, exception faite du cas où Ton suppose que les relations (3) sont vérifiées.

Dans ce cas singulier, on aura encore recours à l'équation (i) et, après l'avoir simplifiée, on obtiendra, pour déterminer m, une équation du troisième degré; et ainsi do suite.

4I90. Orcles et points asymptotes. On rencontre dans la construction de certaines spirales des cercles et des points asymptotes. On dit qu'un cercle (ou un point) A, est asymptote à une spirale U, lorsque cette courbe est constituée, en partie au moins, par une infinité de spires qui

s'enroulent autour de A, sans jamais l'atteindre, mais en s'approchant de lui d'une quantité qui tend vers zéro.

Nous avons trouvé dans la spirale logarithmique, et dans la spirale hyperbolique, des exemples de points asymptotes.

Dans la spirale qui a pour équation

en faisant varier w de o à — oo on a une première partie de la courbe formée d'un nombre infini de spires intérieures au

58t QUARANTIÈME ET QUARANTE ET UNIÈME LEÇONS

curcle A. La courbe est asymptote à ce cercle qui a pour centre Torigine et dont le rayon est égal à -. La courbe est complétée : i'^ par un bras parlant de Torigine, situé dans le troisième angle, et asymptote à la droite A', qui correspond à réquation