zz9sin(w— a
3 élant Tangle au centre qui, dans un cercle de rayon t, cor
respond à un arc de longueur - ;
2^ Par une seconde spire, dont Tun des bras est asymptote à A', et qui s'enroule exlérieurdment à A, en étant asymptote à ce cercle.
Finalement, la spirale proposée a la forme générale qu'indique la figure ci-dessous.
Fig. i8i.
480. CoiM^iriÉé. Soit U, la courbe qui correspond à réquation
/'(p,fa))=0.
LES COORDOxNNÉES POLAIRES S83
Soit M UQ point de U ; la tangente A en ce point a pour équation
- = -cos(w— w,)-i-(- ) sin(c«) — (I),).
P Pi \Pi/
Soient p et w, les coordonnées d'un point B pris sur U dans le voisinage de M et considérons la quantité u, fonction de <•> et définie par Tégalité;
Nous avons
Pi par suile»
u =. — cosfoj — (o,)-h( — ) sin((i) — (i)j) ,
.pi \Pi/ P
tt' = ^^sin((i)— a),)-f-( — j cos{ci>— w,) — f-j
et, finalement,
«''— * cosfw — w,) — (— ) sin(u) — (i)|) — (-| .
• pi ^ \Pi/ \P/
Désignons par u la valeur de u", pour w =: w,, et posons, par conséquent,
<*' • = -rr(^)
It
Si nous supposons u positif, w" est une fonction de ce qui est positif quand w prend des valeurs plus grandes ou plus petites que w,, mais voisines de ^ù^.
La fonction w' est croissante, et pour w := w,, u' s'annule: donc w' a une valeur négative, avant le passage de w par co, ; et positive après ce passage. Conformément à celte remarque, nous pouvons donc dire que u décroit avant le passage, et qu'il croît après le passage. D'ailleurs, pour w z= w,, w prend
5i6 QUARANTIÈME ET QUARANTE ET UNIÈME LEÇONS
la valeur zéro. Eq résumé, avant et après le passage, le rayon vecteur de la courbe est plus grand que celui de la tangente ; la courbe a donc, dans le voisinage de M, la forme indiquée par la figure.
Fig. 182.
Au contraire, en supposant u négatif on trouve que, avant comme après le passage, le rayon vecteur de la courbe, dans le voisinage de M, est plus petit que le raypn vecteur correspondant de la tangente; la courbe tourne alors sa concavité vers le pôle.
