V-|-a) = -, ou V-hw=3-, etc

et, par suite.

p tgV=:cotg(«) zz- .

434. Symétrie par rapport aux axes. Les équations polaires de certaines courbes permettent de reconnaître immédiatement qu*elles admettent certaines droites, passant par Torigine, comme axes de symétrie. Cette observation £aicilite le tracé de la courbe, et la symétrie par rapport à Taxe polaire oxy et aussi celle qui est relative à Taxe perpendiculaire otff se constatent facilement en appliquant les remarques suivantes :

1*» Une courbe e.t symétrique par rapport à ox quand son équation ne change pas: soit qu'on substitue à w, 2tc — w; soit qu'on remplace, simultanément : p, par — p; et w, par 'R — (0.

2" Une courbe est symétrique par rapport à oy quand son équation ne change pas lorsqu'on remplace w par tc — w; ou, simultanément, p par — p, et w par 2% — w.

On peut d'ailleurs généraliser cette règle en l'appliquant, soit aux bissectrices des axes, soit à la droite qui correspond à l'équation (o = a.

4Ê^&, TransformaÉions «centrales* Dans ces transformations^ la figure de référence est constituée par un seul

point fixe 0, qui est le pôle; deux points correspondants w, M sont toujours situés en ligne droite avec le pôle et si

Ton pose

om:zu, OM = V,

on donne, pour définir la transformation, une relation entre les rayons vecteurs u, v.

Par exemple, si Ton a

k désignant une constante, les figures transformées sont ho-

mothétiques.

Les deux transformations les plus simples que l'on puisse imaginer, après la transformation homothétique, sont celles qui correspondent aux formules :

te it V = fc, «« = ± A*.

Comme deux figures symétriques par rapport à un point sont égales, on peut choisir le signe de v et prendre les formules précédentes sous la forme :

(A) u — vzzky (B) uv = k\

A la première, correspondent les courbes que nous avons nommées conchoïdes (§ M) ; Tautre formule donne la transformation dite par rayons vecteurs réciproques.

4186. Transformation par rayons vecteurs réciproques. On sait que, dans cette transformation, les demitangentes aux points correspondants de deux courbes transformées, font des angles supplémentaires avec le rayon vecteur. Nous nous proposons de reconnaître analytiquement cette propriété remarquable.

Soit

réquation de la courbe U ; les formules de transformaUon sont :

(a) ci) = Û, uv:zk\

et, à la courbe U, correspond une transformée V ayant pour équation

Les angles a el 3 que nous voulons considérer vérifient les égalités (§ 422) :

En tenant compte des formules (2), cette dernière égalité peut être écrite

on a donc,

tgaz: — Igi3,

par suite, les angles 2 ,p, qui sont compris entre o et ?:, sont supplémentaires.

La transformation par rayons vecteurs, réciproques jouit de quelques autres propriétés fondamentales qui se reconnaissent immédiatement par l'analyse. Ainsi, à la droite qui a pour équation ,

A cos (I) + B sin w correspond la courbe dont l'équation est

vz=.lC{k cos 0) + B sin w),

c'est-à-dire que : à une droite, correspond un cercle passant par le pôle.

De L. Tomb h. ^

590 QUARANTIÈME ET QUARANTE El' UNIÈME LEÇONS

De même, à un cercle U, dont l'équation est

w' -h M (A cos 0) -h B sin w) + G — o

correspond une courbe V ayant pour équation :

k^-hk*v (A cos ù) -h B sin (I)) -h C»* =o.

Celte courbe V est un cercle ; ainsi, à un cercle correspond un cercle.

i . Trouver le lieu des points tels que si, de rua d'entre eux on mène les deux lanf^entes à une ellipse , la bissectrice de l'angle formé par ces deux dtvites passe par un point fixe.

Le lieu cherché est une strophoïde.

ft. Démontrer:

1° Que la spirale d'Archlmède est la seule courbe gui jouisse de la propriété d'avoir une sous^normale constante ;

2° Que toute courbe qui coupe les rayons vecteurs issus d'un point fixe sous un angle constant, est une spirale logarithmique ;

3" Qu'il n'existe pas d'autre courbe que la spirale hyperbolique, ayant une sous^tangente de grandeur constante.

S. Démontrer que si Von désigne par p la longueur d'un rayon vecteur quelconque, partant du centre de l'ellipse, et peu* V l'angle sous lequel il coupe Vellipse, on a

En déduire les théorèmes d'Apollonius.

4. Autour du foyer F d'une conique V on fait tourner deux semi-droites faisant un angle constant ù\ ; elles rencontrent V en deux points k,B: trouver : i» /e lieu décrit par le pôle I de AB ; a' Venveloppe des cordes AB.

On peut appliquer à cet exercice Téquation :

- zz cos (<â) — o),) — e cos (D, P

EXERCICES o91

et l'on trouve que le lieu du point 1 est une conique qui a le même foyer et la même directrice que la proposée, et qui correspond à l'équation

— z: 1 — e' cos w ;

en posant :

cos V cos V

Pour trouver Tenveloppe des corde3 AB, le calcul peut être dirigé de la uière suivante.

En désignant par pj , b>i ; pi , a>| ; les coordonnées polaires des points A et B, l'équation de AB est :

sin ((0, — (I),) sin fw — w,) siu (o), ~ w)

En tenant compte des relations :

-ni — e cos W| î - — 1 — e cos w. ;

Pi Pi

et, en posant,

on trouve que l'équation de AB eët

- sin 2 V — 2 sin V cos (w — X) 4- e cos to sin 2 V =r o. ?

L'équation de l'enveloppe est

— — I — e' cosoj,

en posant

/)" — 7> cos V, e" — c cos V.

s. On donne un cercle A e/ *«r sa circonférence un iminl fixe O. 7'a/' O, on mène une corde mobile ()A elt dans le segment de cercle ainsi obtenu^ on inscrit un cercle A' tangente à l'arc ()A, en son milieu. A A', on mène une tangente perpendiculaire à OA ; trouver le lieu déaût par le point I, commun à ces deux droites.

Les coordonnées polaires donnent immédiatement Téqnation :

p =: — -h R cos (i> sm Cl),

la courbe correspondante est un limaçon.

6. On considère un point fixe 0, qui est le pôle de la transformation que nous allons définir :

Soit m un point quelconque, dans un plan donné ; joignons Om et^ au point m, élevons à Om une perpendiculaire que nous désignerons par ji. Lorsque le point m décrit une courbe f, \k enveloppe une courbe correspondaute 9.

On propose de trouver l'équation de 9, dans le système des coordonnées polaires, l'équation de f étant .* p = / (w). Cette courbe 9 est la première . podaire négative de f.

Démontrer qu'il n'y a que la parabole qui ait pour podaire une droite, le pôle étant nécessairement le foyer de la conique.