On considère l'égalité

Auv H" B (M 4 v) -f- C =: o;

cette formule de transformation donne les courbes conchoïdes quand on suppose A = 0, et conduit à la transfortnation par polaires réciproques quand on a B = o. On propose d'étudier la transformation qui correspond à Vhypotkèse C = o.

On remarquera que ia formule de transformation peut se mettre sous la forme :

et Ton considérera un cercle, de centre 0, et de rayon p, (0 étant le pôle).

8. Une courbe U, de forme invariable, roule 'sur une droite ox, en restant tangente à celte droite au point fixe 0; trouver le lieu décrit par un point 1, lié à U d'une façon invariable.

On prend Téquation de U en coordonnées polaires, l'origine étant au point I> et Taxe polaire IX étant choisi de façon que Téquation de U soit aussi simple que possible. Soit

(1) /*(p,a))3Z0 celte équation et soit Y l'angle lox, on a :

(a) TgV=t.

Si entre (i) et (a) on élimine di, on a une certaine relation :

qui est Téquation da lieu cherchéi lorsqu'on prend le point 0 pour origine et ox pour axe polaire.

9. On considère une droite A et sur cette droite, deux points fixes P,Q ; par Q on mène une transversale A', sur laquelle on abaisse la perpendi' culaire PC, puis on imagine V ellipse V qui a pour axes CQ et CP ; trouver le lieu des foyers de F.

L'origine étant en P, A élant Taxe polaire, on trouve :

p* — 2Ap cos (0 + A* sin* w = o (PQ zz h).

La courbe qui correspond à cette équation a la forme d'un folium avec rebroussement. En posant

uzzh COS 6), et V* iz h* cos aw on a,

On peut appliquer, pour la construction de la tangente en un point pris sur la courbe, une remarque qu'on trouvera plus loiu (§ 44^).

.fO. Une parabole ^ t déforme invariable , glisse entre deux droites rectangulaires oXy oy ; trouver le lieu décrit par le point I, commun àP et au diamètre passant par 0.

En désigqant par 9, l'inclinaison variable de l'axe de P sur ox, les données d'un point I sont :

p cos 9 sin* 9' p sin ç cos" <f

L'équation du lieu est

64x*y* = p' {x' ■+■ yy.

La courbe U qui correspond à cette équation est formée de quatre, branches paraboliques, doublement infléchies.

Les points d'inflexion se déterminent facilement en remarquant que U a pour équation polaire :

- — 1 — COS 4w,

On trouve, d'après cela,

p (-\ rz 4* cos 4w.

et les poinU «rinfloxion correspondent h :

LES COORDONNÉES POLAIRES (snite)

(construction des courbes)

439. Idées g^énérales poar la constraction des «M»arbes en CNNirdonnées polaires.

Lorsque Téquation d'une courbe est

(i) /"(p, sîn 0), cos w) iz 0,

/^désignant une forme entière des quantités : p, sin (ù, cos (o, il est évident que la courbe qui correspond à cette équation esi une courbe algébrique, dont Téquation cartésienne, si Ton désire l'avoir, s'obtient en s'appuyant sur les formules :

COS <i) n - , sin o) — -, p* :z: x* -+- y*.

En faisant varier w de o à ax, on peut tracer toute la courbe qui correspond à l'équation proposée.

Cette variation de w, entre o et 2x, peut, dans certains cas, être limitée à un intervalle moindre, lorsque la forme de réquation proposée met en évidence une symétrie de la courbe, par rapport à une ou plusieurs droites passant par le pôle ; de telle sorte qu'il soit possible de déduire le tracé total de la courbe, des parties obtenues par une variation de Cl), moindre que 2x.

Mais les axes de symétrie n*existent qu'exceptionnellement dans les courbes et Ton ne doit pas commencer la dis* cussion d'une équation en coordonnées polaires par la recherche de ces droites remarquables.

Sans se préoccuper de ce détail, ni de beaucoup d^autres, il est préférable de faire varier «, pour donner, le plus rapidement possible, une première forme très générale du tracé cherché.

SMl arrive alors que, dans cette représentation <ré« approjptmative, on soit conduit à tracer deux parties de la courbe qui semblent symétriques par rapport à une droite passant par le pôle; on vérifiera, sans tarder, et en appliquant les principes que nous avons donnés plus haut (§ 434)» que la symétrie soupçonnée existe, ou non, réellement.

Ces diverses observations s'appliquent aux équations polaires qui renferment des fonctions circulaires de -, de-, etc.;

il faut seulement ajouter que, dans cette hypothèse nouvelle, on doit, en général, faire varier u) : de o à 4^^, de o à 6x, etc..

Ajoutons encore que, quelle que soit Téquation proposée, avant de commencer la discussion qu'elle comporte, on doit déterminer les valeurs remarquables de (o; nous appelons ainsi celles qui rendent p nul ou infini ; et, dans la variation de 0), on doit s'arrêter à ces valeurs remarquables et aussi

aux valeurs simples, telles que o, -, — .

Quant au cas où l'équation polaire renferme les fonctions

trigonométriques des multiples de w, ce cas rentre, évidemment, dans celui que représente Péquation (i).

Les exemples qui suivent feront mieux comprendre que des considérations générales, la marche qui nous parait devoir être adoptée dans la construction des courbes polaires.

^138. C^nsimetion d*ane isoarbe en cfiordonnées polaires. — {Branches finies.) Soit

a (i) p — - sin 2(1),

réquation proposée; désignons par U la courbe correspondante.

Pour étudier la variation de p, considérons la dérivée p' ; nous avons

(2) p' n a cos 2(0.

Cette relation prouve que p va constamment en croissant,

quand o) varie de 0 à 7.

Il est d'ailleurs facile de vérifier que les axes de coordonnées, ainsi que les bissectrices des angles formés par ces axes, sont des axes de symétrie de U ; de telle sorte que le tracé complet de cette courbe se détermine quand on a obtenu

la partie qui correspond à la variation : ( o à - j.

On peut d'ailleurs construire la courbe U, point par point, en appliquant la remarque suivante.

Écrivons l'équation (1) sous la forme :

(3) a z: p tg(o H-pcotg (»).

Soit A un point pris sur U et soit BC la perpendiculaire élevée, au point A, à OA.

L'égalité (3) prouve que Ton a

BC = a.

La courbe U se construit donc, point par point, en projetant l'origine sur une droite, de longueur constante, dont les extrémités reposent sur les axes de coordonnées.

On peut aussi remarquer que Ton a, dans cet exemple,

Ig V rz - tg 2(1).

QUARANTR-DEDXIÈME LEÇON

Cette relation remarquable permet de construire, très simplement, la tangente en un point pris sur U.

Fig. i83.

Les tangentes parallèles aux axes de coordonnées ont une importance évidente dans le tracé de la courbe proposée. Elles se déterminent, conformément à la règle donnée précédemment (§ 433), au moyen de Téquation

tg V z: cotg (I).

Celte relation donne

1 — tg *W tg 0)

ou,

L*angle co qui correspond à cette égalité et la valeur correspondante de p se déterminent par des constructions simples et sur lesquelles il est inutile d'insister.

4130. C^nsAmctiôa d*une €$oarbe en eoordoaaécs polaires. — (Branches infinies^ hyperboliques.)

LES COORDONNÉES POUIRES 599

Proposons-nous de construire la courbe U, qui correspond à réquation

(U) p" cos Cl) (i -4- sin ««!)) -f- 2 (sin w — cos w) zz o.

Cette courbe U admet des points à l'infini ; cherchons d^abord les asymptotes correspondantes aux directions asymptotiques qui sont, dans le cas présent, Taxe des y et la seconde bissectrice.

On voit immédiatement que Taxe des y est la première asymptote et, à ce propos, on peut faire cette remarque générale que ^i (i) = a annule le coefficient ^ ((o) de laplus haute puissance de p, mais n* annule pas 9' (o)) ; si^ de plus^ V équation ayant pour premier terme çP(^ (w), n'a pas de terme en P*^* ; on peut dire que la droite menée par V origine, et faisant avec Faxe polaire Vangle a, est une asymptote de la courbe.

Ceci résulte immédiatement de réquation établie plus haut (§ 4i8).

Revenons à l'équation (U) et cherchons à déterminer les asymptotes qui sont parallèles à la direction de la seconde bissectrice. Nous allons rencontrer ici une petite difficulté qui nous donnera Toccasion d'appliquer la remarque que nous avons faite, dans la leçon précédente, à propos de la détermination des asymptotes parallèles.

£n conservant les notations adoptées plus haut, nous avons

9 (<o) s cos 0) (1 + sin 2w), f{iù) =: o,

'^^ (w) s: 2 (sin co — cos w); et, par suite,

9' (o)) zz: — sin 0) — sin co sin 20) -j- 2 cos w cos 2(0, et, o" (w) := — cos co — cos Cl) sin 2co — 4 sin co cos 20) — 4 cos co sin 2co

Cette dernière identité peut s'écrire encore,

^" (ci)) =1 — cos Cl) (i -f- sin aw) — 4 sin 3w.

Pour (I) =: a zr — , nous avons

9" (a) =r — a vA, L'équation de Fasymptote cherchée étant

^=msin(co-l2:),

nous déterminons donc (§ A^%) le paramètre tw, par régalilé

Dans le cas présent, lous trouvons

Ainsi, il y a deux asymptotes parallèles à la seconde bissectrice et elles correspondent aux équations

- = >/2 sin fù) — ^^V P \ 4/

i = ~v/^sin(u>-l^);.

ou, dans le système cartésien, aux équations

L'origine est cenlre de la courbe et la formule

I 2 (co^ Cl) — sin oï)

cos Cl) (sin fa) + cos w)*' prouve que Ton doit avoir

cos fa) (cos fa) — sin fa)) > o ;

il n'y a donc pas de point réel de la courbe dans la partie qui est comprise entre la première bissectrice et l'axe yy'. On peut, d'après ces remarques diverses, tracer la courbe qui a Taspect général indiqué par la Sgure ci-dessous (').

1. Cette courbe D'esl autre cbose que celle que uous avoua proposée plus haut(Leç. 3g, ei. 5). Elle a un point double h llaBai, elle est donc nnicursïle. Sa dlscuMlon ae tait bbqs diniculté, »oit par les formules unicursales, soit par l'équation cortèsleune . En la construisant au moyen des coordonnées polaires, nous avons voulu montrer par cet exemple, que, en général, Il ; avolt plus de longueurs et de difficultés dans les discussions par les coordonnées polaires. Ces coordonuÉes s'appliquent auHsi bien que po^^slble, à quelques courbes, ou ti quelques lieux géométriques, et cerlaines questions semblent particulièrement faites pour cette partie de la géométrie analytique. Mais en dehors de ces applicatious assez restreintes, un doit prétérer l'emploi de U géométrie cartésienoe.

602 QUAKANTE-DEUXIÈME LEÇON

La forme générale de cette courbe nous conduit naturellement à chercher des points où la tangente est parallèle à or. On a, d'abord,

, — cosw(sin(»)+co8ci))"— (cosw — sinw)(îicos*o) — sin*w — 3sînidoal

cos* (0 (cos w + sin w)'

et, par suite

p'__i côsw(sinw-|-coS(i))*-4-(cos(o — sin w) (2 cos* w — sin'w — 3sinfa>ca p a cos (I) (cos w — sin w) (cos w + sin w)

au point limite M, on a tgY zz — /^w, et Tangle que nous cherchons s^obtiendra en résolvant Téquation

coso) cos w (sin w-hcos (!))•+ (cos w — sin <!))( 2 cos* ù) — sin*co — 3sînwcos sin ù) cos 0) (cos w — sin w ) (cos w -h sin w)

ou, après simplifications, sin* Câ) + 3 sin* w cos co — sin' w cos* w -h 3 sin w cos' w — 2 cos* « 3: 0. En posant

on a donc

Cette équation n'admet pas de racine commensurable ; mais elle peut être abaissée par la méthode des facteurs commensurables (V. Alg. ; § 4<>î>). On trouve ainsi que Téquation précédente peut s'écrire

Les points M et M' de la figure correspondent donc aux valeurs de tg w, qui sont les racines de Téquation :

Ig* Cl) -I- 3 tg w — 2 iz o, racines que Ton peut construire facilement.

LES COOIIDONNÉES POLAIRES

4UftO. Construetion d'oae courbe en coordonnées polaires. {Branches infinies , paraboliques.) Soit

réqaation d'une courbe U.

Celle courbe admet une direction asymptotique, celle de Taxe ox* ; mais la dérivée de (i-f-cos w) s'annulanl, pour wrzx, on voit, par application de la formule (§4i8) que Tasymptole est rejelée à Tinfini. La courbe a donc des bras de forme parabolique et dont la concavité, vers les parties extrêmes, tout au moins, est tournée vers Taxe polaire ox\

Fig. i85.

Fig. i8(i.

En faisant varier w, de o à 2 ?:, on voit que la courbe a la forme générale indiquée par la figure (i85). Mais on peut étudier plus intimement les sinuosités de cette courbe et montrer que son tracé doit être conforme à celui de la fig. (186), parles considérations suivantes.

Sic

Entre — et 217. la valeur de p passe par un minimum que

nous allons déterminer.

Pour abréger un peu les calculs, remarquons que Téquation (1) peut s'écrire :

( sin - -h cos — I + 2 sm - cos - ,

ou.

(3) p = ,-|-tg--|-tg'-.

Posons, pour simplifier récriture,

nous avons

et, par suite.

p' =11' {i + 2t) =-Ji -h f) [i +at).

Prenons la dérivée de p', nous obtenons,

Au point M, point où nous étudions la forme de la courbe, nous avons,

par conséquent,

et, par suite,

Cherchons si, en ce point M, la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers l'origine. La formule A (§ 43o),

Pi \PJ

peut encore s'écrire, en développant le calcul indiqué,

et, comme p| est nul.

D'ailleurs, nous avons

^ ~ Pi - 3-2 4 "~ 32'

Nous pouvons conclure de ce calcul, qu'au point M, la fonction u étant positive, la courbe tourne sa convexité vers le pôle. Entre les points A et C, le tracé indiqué par la figure (i85) doit donc être modifié, et corrigé comme l'indique la figure (i 86).

441. Remarque I. Lorsque l'équation d'une courbe F est donnée sous la forme,

on peut, par des transformations reposant sur l'identité^

considérer p comme étant la somme des rayons vecteurs

De L. Toue h. 4o

u, r,... des courbes qui correspondent^ respectivement, aux équations :

et il résulte souvent de cette remarque une construction très simple de la courbe F, point par point.

C'est ainsi que, dans l'exemple que nous venons de traiter, ayant remarqué que Féquation proposée peut s'écrire

(l) p = htg-.

cos —

en considérant les deux courbes qui ont pour équation, Tune,

cos -

Taulre,

(3) «i=tg^;

on a,

L'équation (2) représente une parabole ; Féquation (3) une strophoïde ; Tune et Tautre de ces courbes peuvent se construire, point par point, et cette remarque permet de déterminer un point quelconque de la courbe considérée par un procédé très simple.

4Uft9. Remarque II. Lorsque Téquation d'une courbe F^ se présente sous la forme :

si Ton a ,

on pourra construire la coui*be^ point par point, comme nous

venons de le montrer, en considérant les courbes U et V qui correspondent aux équations :

uzzf (w), v=z^{(ù);

nous voulons encore faire remarquer que Ton peut très simplement construire la tangente en un point a de F, si l'on sait tracer les tangentes à ces courbes U et V qu'on pourrait nommer les auxiliaires de F.

En effet si Ton considère deux transversales voisines OAA'a, OBB'6, on a

A'a=:OA, B'6 = OB ;

il résulte de cette remarque que les deux droites RAB, R'A'B', sont deux transversales réciproques du triangle Oa6 et que, par suite, les points R et R' sont symétriques par rapport au point (0, milieu de a6.

Fig. 187.

La tangente, au point a, s'obtiendra donc en menant, par ce point, une droite qui soit partagée en deux parties égales par les tangentes aux courbes auxiliaires aux points A, A'.

On peut, en particulier, appliquer cette remarque à la courbe à bras paraboliques que nous avons construite tout à rheure, puisque les courbes auxiliaires sont : une parabole, et une strophoïde droite (V. § 22).

Lorsqu'il y a plus de deux courbes auxiliaires, lorsque l'on a :

et,

on construit d*abord, par la méthode indiquée, la tangente à la courbe qui correspond à l'équation :

et Ton est ramené au cas précédent.

On peut aussi remarquer que la sous-normale qui correspond au point a, est la somme des sous-normales qui correspondent aux points A, A'.