CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS HOMOGÈNES

841. Théorème. Les formules ou relations de la géométrie sont des expressions homogèneSy quand aucune ligne de la figure n'est prise pour unité.

Imaginons qu'entre des longueurs a, b, c, on ait trouvé une relation que nous représenterons par :

(i) f{a,byC) — o;

nous allons montrer que f(a, by c) est une fonction homogène ou que, s^il n'en est pas ainsi, la relation trouvée peut être remplacée par des relations homogènes.

£n effet, a, b^ c représentant des longueurs qui ont été évaluées avec une certaine ligne t^ prise pour terme de comparaison, changeons d'unité et prenons une nouvelle ligne 0, pour lui comparer les lignes de la figure proposée. Celles-ci ont des longueurs qui sont alors a\ b\ c'; les nombres a', b\ c'; a, é, c vérifiant les égalités :

aziXa', 6z=X6', czzXc', etXrr

On a donc,

nXa',Xô',Xc') = o.

Si /'est une fonction homogène, du degré {jl, on peut poser :

f(Ka', W, Xc') = \^ f{a\ 6', &\

et la relation (i) devient,

f{a\ b\ &) zz o.

C'est la même relation que (i), seulement les lettres a^ b, o, sont changées, respectivement, en a', h' et c'.

Supposons au contraire que /'(a, hy c) soit une expression non homogène et admettons, d'abord, qu'elle soit une fonction entière. Nous pourrons la mettre sous la forme d^une somme

de fonctions entières et homogènes, <p(a, ô, c), «Ka, 6, c)... et nous avons :

par conséquent,

Le rapport X est une quantité variable, puisque 0 est une longueur que Ton peut arbitrairement choisir. Le second membre de cette égalité étant nul, quel que soit \ on a donc:

Dans ce cas, la relation proposée donne donc lieu à plusieurs relations homogènes entre les lignes de la âgure.

Si l'équation /"(a, ô, e) zi o renferme des quantités irrationnelles, on peut toujours, comme nous Ta vous indiqué en algèbre, obtenir une relation U z= 0 ne renfermant plus de radicaux, et la fonction U doit être homogène ou, pour la raison que nous avons donnée tout à l'heure, se décomposer en relations homogènes.

II faut encore observer que les fonctions transcendantes de la trigonométrie représentant des rapports de deux lignes^ restent invariables quand on change l'unité. Elles doivent être considérées comme des nombres ^ quand on cherche à vérifier l'homogénéité des formules.

Nous nous bornons à constater l'homogénéité des formes algébriques fournies par les propriétés géométriques d'une figure, dans les trois cas que nous venons d'examiner successivement et qui correspondent aux fonctions entières, irrationnelles, ou transcendantes; ces dernières renfermant sen-

lement les transcendantes de la trigonométrie élémentaire. Ces expressions sont en effet les seules que nous rencontrerons dans ce cours, si Ton en excepte pourtant quelques courbes transcendantes, comme celles que nous avons trouvées en algèbre,

y -a', y=:Lr;

et, aussi, comme quelques spirales, que nous étudierons dans le système des coordonnées polaires.

L'équation d'un lieu géométrique étant une relation entre les lignes données et les lignes variables a?, y qui représentent les distances d'un point à deux droites, on peut donc dire :

Lorsqu' aucune ligne de la figure rC est prise pour unités réqtuition du lieu géométrique^, et toutes celles qui ont servi à la trouver^ doivent être homogènes.

3&. Remarque. Lorsqu'une figure ne renferme que des angles, les lieux géométriques que peut engendrer cette figure sont formés par une ou plusieurs droites.

En effet, si Ton désigne les angles par 9, ^y ... l'équation do lieu est :

(0 f{x,y,f^,^,.,.)zro.

Les constantes données, 9 et ^y entrent sous forme de lignes trigonométriques et, par conséquent, on peut dire que l'équation (1) est une fonction homogène en x et y. La propriété qui nous occupe est alors la conséquence immédiate du théorème suivant.

>. Théorème. TotUe fonction homogène d'x et d'y, du degré m, représente un faisceau de m droites, réelles ou imaginaires y passant par l'origine; et réciproquement.

Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où Toq suppose m = 1 . L'équation proposée est alors :

(1) Ax + By=:Oy

A et B n'étant pas nuls à la fois. Si Ton a A = o, cette équa-

tîon se réduit à By = o, ou à y = o, puisque l'on suppose B ;zf o. Dans ce cas particulier, Téqualion représente donc Taxe ox. On voit de même qu'elle représente Taxe oy, quand on a B n o. Enfin, dans le cas où A et B sont, l'un et l'autre, différents de zéro, la relation peut être écrite sous la forme :

II existe on point M dont les coordonnés x'y y' y sont : x' = B, y' — — A. L'équation devient alors :

Les propriétés des triangles semblables prouvent : i» qu'à toute solution de l'équation (a), correspond un point M' placé sur la droite OM ; et que, réciproquement, les coordonnées d'un point quelconque de OM vérifient la relation proposée. En résumé l'équation (i) représente une droite passant par l'origine.

Fig. ag-

Lorsque le rapport des coefficients A et B est une expression imaginaire, nous dirons, conventionnellement, que l'équation (i) représente une droite imaginaire et il est facile de vérifier que, dans cette hypothèse, 1 équation (i) n'admet aucune solution réelle, en dehors de la solution zéro.

Considérons maintenant une équation homogène, et du degré m, en a; et y, 9 (a?, y) =: o ; on a, par le théorème de d'Alembert (Alg. § 35;),

ç(a?, î/) s (A* a? 4- B, y) (A, â? + Bj î/) ... {AmPC-^-Bmy).

Pour que 9 (x, y) soit nul , il est nécessaire et suffisant que Tun ou Tautre des m facteurs réels ou imaginaires du second membre, soit nul. On a donc, pour le lieu proposé, toutes les solutions des équations :

A,a?-4-B, yzio, A,a; -f- B,y ir o, .,. AmX + Bmy:=o.

Ainsi, le lieu considéré est constitué par Tensemble de m droites, qui sont réelles, quand les coefficients A et B sont eux-mêmes réels, et que nous nommerons imaginaires, dans le cas contraire.

La réciproque est vraie et s'établit, sans difficulté, par des considérations toutes semblables.

8*9. Constraotion des expressions rationnelles, homog^énes. Les expressions que nous voulons considérer d'a-bord sont celles qui correspondent à la formule,

(1) OJzzSa, T.

En posant,

on voit qu'on obtiendra la longueur x, en ajoutant les longueurs a?„a;„... et tout revient à construire x^. Posons encore,

et admettons que Ton sache construire X,. La formule (a) donne,

et nous voyons ainsi que x^ peut être obtenu par la construc-

tion connue de la quatrième proportionnelle. En raisonnant sur X„ comme nous Favons fait sur a?,, et ainsi de suite a?, peut se construire par une série de quatrièmes proportionnelles.

Le cas le plus général des expressions rationnelles, correspond à la formule :

Sfl.r

A« *•> OLp

6| ... 6 xzzc

En posant :

Sa, ... cLp e, ... ^p

et.

on peut construire y et z^ comme nous venons de l'indiquer, et la longueur x s*obtient, finalement, par une quatrième proportionnelle, laquelle correspond à la formule,

88. Moyenne harmonique (*).La construction indiquée au paragraphe précédent est celle que Ton peut appliquer, d'une fiiçon générale, sans avoir recours à des artifices particuliers, aux expressions rationnelles. Il va, sansdire, que dans beaucoup de cas^ on pourra profiter de la forme algébrique donnée pour construire rinconnue , par des procédés rapides. Nous donnerons, comme exemple de ces procédés particuliers, une construction de la moyenne harmonique.

On dit qu*une longueur X est une moyenne harmonique

t. Cette dénomination est due&JVac-Laun'n. —Aperçu historique^ p. ifyj.

entre les m longueurs a, b, c, ,..l^ lorsque Ton a la relation,

Considérons un trapèze dont les bases soient a et b^ et par le point de concours des diagonales, menons une parallèle aux bases. On voit facilement que cette droite est partagée.

Fig, 3o.

par les diagonales et les côtés du trapèze^ en deux parties égales, et que Finverse de chacune de ces parties est égale

à - 4- T . Ayant fait la construction qu'indique la figure, on a donc ;

on a, de même,

et ainsi de suite.

Pour nous borner

a, 6, c; ona:

et, par conséquent,

X=:3ar.

On a donc la moyenne harmonique des lignes a, b, c, en triplant la longueur x, obtenue par la construction précédente.

39. IrraÉionnelles du second de^é. Nous nous occuperons d^abord des irralionnelles qui correspondent à la formule :

£ - Sa6 \ / .

Considérons Tun des termes du second membre, et posons :

x\ - ah ^.

Construisons, par la méthode indiquée plus haut, une ligne X,, ligne déterminée par la formule :

nous aurons finalement a;,, par une moyenne proportionnelle entre a et X,.

Pour revenir maintenant à la ligne a?, on voit qu'en appliquant la construction précédente^ aux différents termes qui constituent le second membre, on a,

X m Al -}-... -f" XJJ — Yj . . — Yjif. En posant, alors,

el,

2*zr Yj + ••• ■+- Yjt;

ces lignes y ^\ z peuvent se construire en ayant recours à une suite de triangles rectangles et Ton obtient la ligne x par une moyenne proportionnelle entre y H- s et y — xî .

Le cas, plus général que le précédent, où la ligne x est déterminée par Tégalité :

Sa6 '

..Op

,..{ip

" kq

se' ramène à celui-ci en construisant les deux lignes U, V, déterminées par les égalités :

- '*• • • • jL n

Ui = SaôJ J?,

Hi ••• Pp

T =1 Serf

4IO. Moyenne harmonique de «Mftirés. Désignons par a, 6, c^ ... 2; m lignes données; la ligne Xy que nous nous proposons de construire, est déterminée par la formule :

Cette ligne peut s'obtenir par une construction rapide que nous allons indiquer.

Examinons, par exemple, le cas de quatre lignes et proposons-nous de construire la ligne x^ telle que Ton ait :

Ayant fait la construction qu'indique la figure, nous avons d'abord, par une propriété connue,

XÎ « f>

puis,

C I^ig- 3i.

par conséquent,

aiDsi

a? = aOP = PQ.

41. CkMistmctioli des racines d*une équation da second deg^. Une équation du second degré, lorsqu'elle exprime une relation entre des lignes données et une ligne inconnue x, peut toujours être ramenée à la forme,

x*zt:2<xxzt. 6' zzo,

a et 6, désignant des lignes données^ ou des lignes que Ton peut construire, au moyen de celles-ci. Cette équation peut s'écrire,

Eq posant,

yzzxdzx,

48 QUATRIÈME LEÇOJ^

on voit que y peut s'obtenir au moyen d'un triangle rectangle.

Connaissant la ligne x + ol, on en déduit la ligne inconnue x.

La construction élémentaire qui est relative au partage

d'une droite donnée, en moyenne et extrême raison, n'est qu'une application particulière de l'idée que nous venons d'exprimer. En effet, si l'on désigne par a, la ligne proposée, et par X le plus grand segment de cette longueur^ partagée en moyenne et extrême raison, on sait que l'on a^ par définition,

ou,

a^ -\-ax — a' = 0.

Celte relation peut s'écrire,

a et, sous cette forme, on voit que a; -h -est l'hypothénuse

Je

d'un triangle reclangle, dont les côlés sont a et-. C'est de

cette remarque que découle la construction élémentaire cornue, mais que nous avons voulu rappeler, pour la rapprocher de l'idée générale qui préside à la construclion des racines de l'équation du second degré.

41^. ConstrocUon des irrationnelles bl-qaadratiques. Supposons d'abord que la ligne x, que l'on veut construire, soit liée aux lignes données par l'égalité,

x^ z=. abcd

En posant :

y ziz ca ,

Wj V| ... v^,

et,

z* :z.ah\ on a,

et la ligne inconnae x, est donnée par une moyenne proportionnelle entre les lignes y et Zy qae Ton sait construire. Supposons maintenant que Ton ait,

En appliquant, à chacun des termes qui constituent le second membre, la construction précédente, on est ramenée construire les expressions de la forme

11 nous reste donc à indiquer comment on peut^ avec la règle et le compas, construire une ligne Xy déterminée par régalité précédente.

Prenons d*abord des exemples simples. Soit

Posons,

h' — àyj et a* -h y* r= z'.

Nous avons alors,

X* := a* H- ay, ou,

X* r= aV,

ou, enfin,

x^ 11 az.

D'après cette égalité, x est une moyenne géométrique entre les lignes connues a et z.

De L. Tomb II. 4

50 QUATRIÈME LEQON

Cette méthode est susceptible d'une généralisation évidente. Si Ton vent construire la ligne x, déterminée par la formule,

a;* - a* -h 6* + c*, on posera,

b'':zay, c^zzaz, et ^* -a"4-y' + 2*;

et Ton aura,

x^ zz at.

413. Irrationnelles d*ii|di<^ a''. Pour montrer que Ton peut construire, avec la règle et le compas, les irrationnelles de ce genre, nous allons indiquer comment on ramène la

construction d'une irrationnelle dMndice iPy à celle d'une irrationnelle d'indice a^"*.

Soit proposé, par exemple, de construire la ligne x^ déterminée par Tégalilé,

Nous poserons,

et nous aurons,