SECTIONS PLANES DU CYLINDRE ET DU CONE CIRCULAIRE DROIT

4148. Théorème. La section plane d'un cylindre circulaire droit est une ellipse.

Appelons, pour la commodité du langage, méridien principal le plan qui passe par Taxe du cône, ou du cylindre, et qui est perpendiculaire au plan de la section H. Soient ox la trace de II sur le méridien principal et oy une perpendicu-

Fig. 188.

laire élevée, au point 0, au plan du méridien principal ; on peut remarquer que cette dernière droite est située dans le plan sécant et nous allons chercher l'équation de la courbe d'intersection, dans le système d'axes yox. Soit M un point quelconque de y ; par M, menons un plan

612 QUARANTETAOISIÈME LEÇON

perpendiculaire à Taxe du cylindre, et soit A le cercle ainsi obtenu. Nous avons

MP =BP.CP.

D'autre part, en désignant par <x Tinclinaison du plan sécant sur Taxe du cylindre, et par R le rayon du cylindre, nous pouvons écrire

BPrrxsina, CP=(OA— a;)sina=: (-: — — x] sma.

L'équation de y est donc •

y*zzx sin a (aR — x sin a),

y* + ^* sin* a rr 2 Ra? sin a.

OU encore,

y' -h (a: sin a — R)* rr R*.

La courbe qui correspond à cette équation est une ellipse ; le centre de cette ellipse, est situé au point dont les coordonnées sont : R cosec a, et o ; c'est-à-dire au point H milieu

de OA. Les axes de la courbe sont : a R et —

sin a

Il résulte de ces remarques diverses, que toute ellipse ^ peut être considérée comme ayant été obtenue par la section plane d'un cylindre circulaire droit ; il suffit de prendre un cylindre circulaire droit dont le rayon soit égal au petit axe de y' et de le couper par un plan II perpendiculaire à un méridien de la surface, la trace de II sur ce méridien étant tellement choisie, que la partie interceptée par les deux génératrices principales U et V, soit égale au grand axe de Y-

4144. USeetion Cylindrique. — Méthode GéoMié trique. Le résultat précédent peut encore s'établir, par des considérations géométriques très simples (*).

1 . Cette élégante méthode que noas appliquons aussi, un peu plus loio, au cas de la section plane du c6ne droit, est due à QueUlet et à Dandflin,

Inscrivons, comme l'indique la figure ci-dessous, deux cercles tangents à AA'et ata génératrices principales, HH' GG'. Si nous feiflons tourner la figure autour de 00* {à Texception de la droite AA') nous engendrons ainsi: i° le cylindre proposé, 3' deux spbères qui sont tangentes à cette surface, respectivement, le long des cercles HG, H'G'. D'ailleurs, le plan FI étant perpendiculaire au méridien principal, la droite OF, qui est perpendiculaire sur AA', est aussi normale sur II ; ce plan est donc tangent aux sphères 0 et 0'.

Ceci posé, les tangentes issues d'un point à une splière étant égales, on a :

MF=ML, MF' = ML', et, par conséquent,