I)A' " FA
le point D est, d'après cela, le conjugué harmonique de F par rapport aux sommets A, A'. La directrice passe donc par le point D ; comme elle est située dans le plan II et qu'elle est perpendiculaire sur AA', cette directrice est bien la droite DE.
4I4B. Théorème. La section plane d'un cône circvUaire droit est une ellipse, quand le plan sécant rencontre les deux génératrices principales SU et SV, en deux points qui déterminent un segment de droite contenant un point G de Vaxe.
Lorsque ce point G est extérieur au segment^ la section est une hyperbole.
Enflny la section est une parabole lorsque la trace du plan sécant est parallèle à l'une des génératrices principales.
En raisonnant comme nous Pavons fait tout à Theure nous avons d'abord,
y' = BP.CP.
D'autre part les triangles OBP, ACP, donnent :
BP a; , PC OA — a:
— — T,- et
sina cosO sin(a + 26) cosO
Si nous posons OS = d nous avons aussi^
OA d
sin 2 6 "^ sin (a -j- a6)'
et nous trouvons, finalement,
(i) y* cos*6 = a?sin a { rfsinaO — x sin (a 4- «9) (•
L'angle a est compris entre o et ic ; par suite sin a est positif et le genre de la conique qui correspond à (i) dépend seulement de sin (a + 2 6). La section est une ellipse, une bype^ bole, ou une parabole, suivant que Ton a :
En cherchant une interprétation géométrique de ces conditions on reconnaît l'exactitude de la proposition énoncée.
\Av'''
Fig. 190.
Dans le cas de Tellipse, en identifiant Téquation (i) avec la suivante :
on trouve, par un calcul simple,
sin aO
, , j, sin a sin* 0
2 sin (a -1-26/ " sin (a + 26)*
44V. Problème. Placer une conique donnée j sur un cône circulaire droit donné.
Ce problème peut être considéré comme le problème inverse du précédent.
Nous supposons que a, b, et 0 sont des quantités données, et nous nous proposons de déterminer les inconnues d et a.
Prenons d'abord le cas de Tellipse. L'identification des équations (1) et (a) conduit à l'égalité
*' sin ft sin (« 4- «6) a* eoa* t)
Cette relation donne :
a* — 6* cos' 6 — sin a sin (a -h 26) «* "~ cos'O '
D' autre part, on peut remarquer que Ton a
cos* 0 — sin a sin (a + 2Ô) = cos* 6 — sin* « cos 2O — sin a cos a sin aO.
ou,
cos* 6 — sin a sin (a -h 2O) := cos * 0— sin* a (cos*Ô — sin* 6)
— sin a cos a sin 26,
c'est-à-dire,
cos* 0 — sin a sin (a + 2O) z= cos* 0 cos* a -h sin* Ô sin* a
— 2 sin a cos a sin 0 cos 6,
ou, enfin,
cos* 0 — sin a sin (a 4- 2O) = cos* (0 rh a).
D'après ce calcul, on a donc
(4) e=±^iîi(fl±i).
û COS 6
L'angle a + 0 est égal à l'angle 9 qui mesure l'inclinaison du plan sécant sur Taxe du cône, et la formule précédente permet de calculer 9; puisque l'on a c<a et, a fortiori j c<a cos 0.
Lorsque 9 est connu, la formule
^ agsin(e + 9) sin2 0
permet de calculer d» Ainsi : on peut toujours placer une ellipse donnée sur un cône circulaire droit donné.
On peut encore remarquer, d'après la formule (4), que le problème en question comporte deux solutions. Les plans
qui correspondent à ces solutions sont symétriques par rapport à l'axe du cône; ce dernier fait est évident a priori.
4<fl8. Le même calcul, appliqué au cas de l'hyperbole, conduit à une conséquence semblable; il y a pourtant une différence importante à signaler, et l'on trouva que l'on ne peutplacer une hyperbole donnée, surun cône circulaire droit donné, que si l'angle gui renferme les branches de Vhyperbole est plus petit gue Fangle 1 0, formé par les deux semigénératrices principales qui renferment l'axe du cane.
419. Enfin, on voit aussi très facilement gue Von peut toujours placer une parabole sur un cône circulaire droit donné. Mais nous n'insistons pas davantage sur ces problèmes pour lesquels nous indiquerons d'ailleurs, tout à l'heure, une solution géométrique.
jftSO. Sections coniques. — Méthode gréométriqne. Soit SAA' la section principale par rapport au plan sécant II. Considérons le triangle SAA', le cercle inscrit 0, et le cercle
Fig. .9".
exinscrit 0', qui correspond au côté AA'. Les considérations précédemment employées (§ 444), étant appliquées à la figure ci-dessus, donnent :
MF = ML, MK'=rML',
et, par suite,
