MP* = PA'.PB

(lomme le raisonnement précédent s'applique à un poinl quelconque de la courbe A'C'B', il est donc démontré que Tangle A'MB' est droit, quel que soit le point de celte courbe; celle-ci est donc une circonférence.

4L641. G6nes du second ordre. — Transformatioa par la perspective. Cette étude des sections planes des cônes à base circulaire conduit très naturellement à chercher la nature et le genre des sections planes des cônes qui ont pour base une courbe du second ordre. Mais nous touchocs ici à des considérations qui trouveront mieux leur développement dans la troisième partie de ce cours, et que nous ne pourrions produire, en ce moment, qu^en nous appuyant sur

des principes géométriques qui ne doivent pas être présentés ici. Nous voulons seulement dire un mot de la méthode de tr avis formation par perspective y que Ponoelet a découverte, et qu'il a exposée dans son Traité des propriétés projectives.

Imaginons une courbe U, dans un plan P ; soit S un point, pris en dehors de P, et que nous nommerons le point de vue. Considérons maintenant un plan P' et désignons par A la droite d'intersection de P et de P'.

A un point A du plan P correspond sur P' un point A', intersection de ce plan et de la droite SA.

A une droite ABC, correspond une droite A'B'C, intersection du plan P' et du plan S, ABC ; et ces deux droites correspondantes se coupent, au point M, sur A.

Fig. 19(5.

En général, à une courbe U correspond une courbe U'; les deux courbes U,U', coupent A aux mêmes points, et non seulement elles sont du même ordre et de la même classe, mais elles ont des points multiples en même nombre ; ces points, correspondants deux à deux, offrant les mêmes singularités.

En particulier, à -une courbe du second degré correspond une courbe qui est aussi du second degré ; en d'autres termes les sections planes des cônes du second ordre sont des ellipses^ des hyperboles^ ou des paraboles.

Nous reviendrons d'ailleurs bientôt sur ce dernier point, dans la troisième partie de ce cours, quand nous chercherons par la méthode analytique le genre des sections planes des surfaces du second ordre.

Cette transformation des figures planes, par la perspective, constitue une des réalisations géométriques de la transformation homographique : à quatre points en ligne droite A3>C,D, correspondent quatre points A'3',C',D', également en ligne droite, et les rapports enharmoniques de ces deux couples de points sont égaux.

i . Démontrer, géométriquement ^ que deux sections antiparalUles donnent deux cercles qui appartiennent à la même sphère.

Soient 0, 0' les centres des deux sections, on voit immédiatement que les perpendiculaires éleyées, en ces points, au plan des sections, se coapent en un point <o qui est à la même distance des points de A et de à', puisqu'il représente le cenlre du cercle qui passe par les points A, B ; A', B'.

!*. Une sphère est tangente au plan horizontal?, trouver Vombre portée par cette sphère, sur ce plan, par un flamlteau perpendiculaire à ? elde hauteur A.

Pour faire cette épure on appliquera le théorème de Dandelin.

3. Le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une ellipse donnée est une hyperbole située dans le plan qui passe par le grand axe de cette ellipse, perpendiculairement au plan de cette courbe.

On applique la remarque faite plus haut et d'après laquelle A'A^ = FF; (fig. 19O.

4. On coupe un cône circulaire droit par un plan P et Von projette la Section obtenue sur un plan Q passant par le sommet S, du cône donné, perpendiculairement à Vaxe de ce cône. Démontrer que cette projection V a pour foyer S et pour directrice la droite d*intersection A, des plans P et Q.

Cette proposition s'établit très simplement par des considérations géométriques ; on fait voir que le rapport des distances, d'un point de U, ft S et à A, est constant et égal â tg a tg 0 ; a étant l'angle d'inclinaison des plans P et Q, et aO désignant l'angle au sommet du cône.

5. Démontrer que le petit axe de la section est une moyenne géométrique entre les rayons des sections faites dans le cône, par les plans qui passent

par les extrémités du grand axe,

tt. Que Von mène un plan parallèle à la base du cône circulaire droit, et situé à la même distance de son sommet que le plan de la section conique proposée : ce plan coupera le cône suivant un cercle, dont le diamètre sera le paramètre de la conique,

(Théorème de Jacques Bemoulli.)