Principe. Soit f{x) le résultant des deux formes

?(^^y)> ^{^jV)» «i ^'^^ construit les deux [courbes U, V, qui correspondent aux équations

Vahcisse x' d'un point M' commun à V et à V, est une des racines de V équation f{x) = o.

En effet, appelons y' Tordonnée du point M'; les deux équations

admettent une racine commune x'; le résultant f{x) s'annule donc pour x :=zx', et Ton a

La réciproque n'a pas toujours lieu et il peut arriver que U et V n'aient aucun point commun, réel, l'équation f=: o, admettant, malgré cela, des racines réelles. 11 suffit, pour

citer un cas évident de cette singularité, que U et V aient deux points imaginaires conjugués situés sur une parallèle à Taxe des y.

Par exemple, l'équation

peut être considérée comme résultant de Félimination de y entre les deux formes :

y« -. a:» + a* -h ?*, y* -h rc* — a*a:*.

Dans cet exemple, la courbe U est une hyperbole équilatère

dont les sommets sont sur Taxe ox à une dislance ± y/a' -h &*» de Torigine ; V est une courbe en forme d'ovale, comprise entre les droites qui correspondent aux équations : a; ^ a, a? = — a. Dans ces conditions UetV ne peuvent avoir aucun point commun, réel, et pourtant l'équation proposée a, au moins, deux racines réelles.

Dans la pratique, on peut éviter cette difficulté en posant

et en construisant les courbes qui ont pour équation, respectivement,

Dans d'autres cas, on pose y=.^[x\ et l'on fait, avec cette relation et l'équation proposée f{x) zz o, diverses combinaisons qui aboutissent à une équation F (j;,y) = o. On cherche alors les abcisses des points communs aux courbes qui correspondent aux équations

Mais cette méthode peut introduire des solutions étrangères.

Lorsqu'on fait usage de l'identité (i) on doit remarquer que cette identité pouvant être établie d'une infinité de façons différentes, on doit choisir naturellement, parmi ces iden-

lités diverses, celle qui 4onne lieu à des courbes connues, ou à des courbes dont le tracé peut être obtenu facilement et avec une certaine précision.