ME = P'Y
et, si l'on remarque que Ton a :
yizME-HBC,
on trouve, finalement,
Des considérations toutes semblables dondent aussi :
(B') iCiraX-ha'Y.
Fig. 34.
Ces formules sont générales, elles sont vérifiées pour un point quelconque du plan, quand on tient compte, bien entendu, du signe des quantités a, P;, a', P'; x, y;X, Y; elles constituent par conséquent les formules de transformation, quand on passe d'un système yOx, à un système YOX, de même origine.
48. Cas des axes reetangulaires. On rencontre assez fréquemment le cas particulier où les angles yOar, YOX, sont droits, l'un et Tautre. Cette transformation dépend d'un seul paramètre ©, que nous devons d'abord définir.
11^ A cet effet, nous imaginons que la semi-droite Ox, tourne autour du point 0, dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre, d'un angle <p ; elle représente alors et la position et la direction positive du nouvel axe OX. Supposons maintenant que l'on fasse tourner OX, dans le même sens, d'un
oi
angle de 90"*, on obtient une semi-droite OY qui représente la position et la direction positive du nouvel axe OY.
Fig. 35.
Dans ces conditions, les formules de transformation sont :
xzzX cosç — Ysinç, y — X sin <p H- Y cos ç.
Elle sont générales et peuvent, ou se déduire des formules démontrées dans le paragraphe précédent, ou s'établir directement en utilisant le théorème des projections qui a été vu dans la trigonométrie élémentaire.
49. Relation entre les paramètres direetears. Les coordonnées a, 0 du point directeur ne sont pas des quantités indépendantes^ quand on passe d'un système donné yOx, à un autre système YOX. En désignant par 6, l'angle des semi-droites Ox, Oy, on a, dans le triangle ORP (fig. 34),
ou,
OP" — OR* + RP* - 2OR . RP . cos ORP,
1 rz a' -h- g* + 2ag cos e.
C'est la relation que doivent vérifier les paramètres a, p, dans le système d'axes dont Tangle est égal à 0.
ftO. Calcul de Tang^le des nouveaux axes^ Le triangle OMA (fig. 34), donne :
OM* — a;* + y* -h %jcy cos 0,
Si nous désignons par 0'^ Fangle YOX^ nous avons, de même :
ÔM" zr X* -+- y + 2XY cos 0' ;
et, par comparaison,
a;* 4- y* 4- aa^y cos 0 = X"-f- Y* + aXY cos 0'.
Les formules (A) et (B), établies plus haut, donnent l'identité :
(aX + a' Y)* + (pX + P'Y)* -h- a (aX -f- a'Y) (13X+ g'Y) cos 0 :-X* + r-haXYcose'.
En égalant les coefficients de X* et de Y*, on retrouve la relation entre'les paramètres directeurs ; mais celte identité donne encore régàlité ;
cos 6' z= aa' + P3' 4- (ag' 4- P»') COS 0.
Cette formule permet de calculer Tangle des nouveaux axes.
Sl« Théorème. L ordre dune courbe rC est pas changé par la transfof^mation des coordonnées. Soit f{x^y) zi o, Péquation d'une courbe d'ordre m, en supposant que /*(a?, y) désigne une forme algébrique entière, du degré m en a; et y. Les formules (A) et (B), (S 46) ; et les formules (A' et B'), (§ 4;) prouvent qu'une forme algébrique, entière, du degré m en a; et y, ne peut pas être d'un degré supérieur à m, après la transformation.
11 reste à reconnaître que cette transformation ne peut pas abaisser le degré de la forme considérée.
En effet, si cet abaissement pouvait se produire, en eflFectuant la transformation inverse, en revenant du système X,Y
aa système ancien x^y^ Tordre ne pouvant pas s'élever par cette transformation, au lieu de retrouver la forme proposée^ laquelle est du degré m, on aboutirait à une fonne algébrique d'un degré inférieur à m. Ceci implique une contradiction, et, en résumé, Tordre d'une courbe ne peut être ni élevé, ni abaissé, par un changement d*axes.
59. Théorème. Une courbe (Tordre m est coupée par une droite quelconque en m points^ réels ou imaginaires. Soit U la courbe donnée, et soit :
son équation. Considérons une droite quelconque A, dans le plan de U, droite ayant pour équation^
Nous dirons que U et A ont m points communs, réels ou imaginaires, pour exprimer que les équations (i) et (2) admettent, pour xeiyy m solutions de la forme a + ^i.
Pour démontrer la propriété énoncée, prenons, sur A, un point dont nous désignerons les coordonnées par Xo , yo et transportons les axes^ parallèlement à eux-mêmes, en ce point. L'équation (1) devient :
(i')/(^o-hX,yo + Y) = o,
et l'équation (a) représentant une droite, passant par Torigine, prend la forme (§ 36) :
(2O AX-f-BY = o.
En développant Téquation (i'), on obtient un résultat qui peut être écrit de la manière suivante :
(O 9«(X,Y) + (p„^,(X,Y)4-...^-Toi=o.
Dans cette notation^ que nous emploierons dans plusieurs circonstances, f * (X , Y)désigne une forme algébrique entière, homogène, et du degré k par rapport aux lettres X et Y. On
doit remarquer, d'ailleurs, que ç^ (X, Y) n*est pas identiquement nul, puisque /"(a?, y) est du degré m et que la transformation de coordonnées ne peut pas modifier Tordre de la courbe.
Cherchons le nombre des solutions communes aux équations
Nous ne pouvons pas supposer que A et B soient nuls simultanément ; faisons donc Thypothèse suivanta ; Bpif o. L'équation (2') donne :
(2*) Yrr^X;
en posant izz—-.
Transportons cette valeur de Y dans Téquation (i*); celle-ci devient :
Le polynôme ç^ (1, Qu'est pas identiquement nul; nous avons fait remarquer tout à Theure. L'équation (A) est donc du degré m, quand on ne prend pas pour ^, une des racines de réquation ;
Il y a donc, en généraîy m solutions, réelles ou imaginaires, à l'équation (A) ; et, par suite, m points communs (dans le sens que nous avons attaché à cette expression) à la courbe du degré m, et à une droite située dans son plan.
&3« Remarque. Les formules que nous avons données, plus haut, pour effectuer la transformation du système d'axes yOx, au système YOX, exigent que l'on connaisse les coordonnées des points directeurs. Dans la plupart des cas, ces paramètres ne sont pas donnés ; leur connaissance dépend de la situation des nouveaux axes, relativement aux anciens, et ils doivent être calculés, avant que l'on puisse appliquer les formules que nous avons démontrées.
Prenons, par exemple, un système d'axes t/Ox, les directions positives Oo:, Oy faisant un angle de 6o<* , et supposons que Ton fasse tourner, dans le sens positif {$ 9), la semidroite Ox d'un angle de 3o», et la semi-droite Oy, d'un angle égal à 6o«. Nous obtenons ainsi deux nouveaux axes OX, OY bien déterminés, de position, et de direction. Si nous prenons snrOXetsurOY;
OP^OQzri, nous trouvons pour les coordonnées du point P :
et, pour celle du point Q,
Les formules de transformation sont donc :
y = yïx-+-Y.
